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| Aufgabe | Zu zeigen:
[mm] $b<(\lfloor \sqrt{b}\rfloor+1)^2-1$
[/mm]
Wobei [mm] $b\in\mathbb{N}$ [/mm] keine Quadratzahl ist. |
Guten Abend zusammen,
ich muss diese Ungleichung für einen Beweis per Schubfachprinzip zeigen, jedoch komme ich einfach nicht weiter.
Ich weiß ja, dass gilt: [mm] $\sqrt{b}<(\lfloor \sqrt{b}\rfloor+1)$,bzw. $b<(\lfloor \sqrt{b}\rfloor+1)^2$.
[/mm]
Jedoch stört mich das $-1$ am Ende und ich komme einfach nicht weiter.
Würde mich sehr über Tipps freuen.
Vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi
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Hallo Lucas,
vielleicht verstehe ich den Sinn der Aufgabe ja nicht, oder ich sehe das Problem einfach nicht...
> Zu zeigen:
> [mm]b<(\lfloor \sqrt{b}\rfloor+1)^2-1[/mm]
Nur um sicherzugehen: [mm] \lfloor{x}\rfloor [/mm] bezeichnet die untere Gaußklammer, ja?
> Wobei [mm]b\in\mathbb{N}[/mm]
> keine Quadratzahl ist.
Das scheint keine nötige Einschränkung zu sein.
> Guten Abend zusammen,
> ich muss diese Ungleichung für einen Beweis per
> Schubfachprinzip zeigen,
Ich kenne das Schubfachprinzip, aber wie es sich hierher verirren konnte, ist mir rätselhaft.
> jedoch komme ich einfach nicht
> weiter.
> Ich weiß ja, dass gilt: [mm]\sqrt{b}<(\lfloor \sqrt{b}\rfloor+1)[/mm],bzw.
> [mm]b<(\lfloor \sqrt{b}\rfloor+1)^2[/mm].
> Jedoch stört mich das [mm]-1[/mm]
> am Ende und ich komme einfach nicht weiter.
Untersuche alle [mm] b=a^2-1 [/mm] mit [mm] a\in\IN. [/mm] Schlimmer kanns ja nicht kommen. 
Dann musst Du natürlich noch zeigen, warum damit alle [mm] b\in\IN [/mm] erledigt sind.
> Würde mich sehr über Tipps freuen.
Grüße
reverend
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Hallo,
vielen Dank für die Antwort.
> Hallo,
>
> > Zu zeigen:
> > [mm]b<(\lfloor \sqrt{b}\rfloor+1)^2-1[/mm]
> > Wobei
> [mm]b\in\mathbb{N}[/mm]
> > keine Quadratzahl ist.
> > Guten Abend zusammen,
> > ich muss diese Ungleichung für einen Beweis per
> > Schubfachprinzip zeigen, jedoch komme ich einfach nicht
> > weiter.
> > Ich weiß ja, dass gilt: [mm]\sqrt{b}<(\lfloor \sqrt{b}\rfloor+1)[/mm],bzw.
> > [mm]b<(\lfloor \sqrt{b}\rfloor+1)^2[/mm].
> > Jedoch stört mich
> das [mm]-1[/mm]
> > am Ende und ich komme einfach nicht weiter.
> > Würde mich sehr über Tipps freuen.
>
> ich weiß auch nicht, was das mit dem Schubfachprinzip zu
> tun hat.
Es geht um Paare [mm] $(x,y)\in\{0,1,\ldots,\lfloor b \rfloor\}, ((x,y)\neq [/mm] (0,0)$
Nun brauche ich, dass es mehr Paare $(x,y)$ als Restklassen modulo b gibt.
>Aber Du
> kannst o.E. sagen, dass
> [mm]b=\lfloor b \rfloor +e[/mm]
> mit einem [mm]0 \le e=e_b < 1\,.[/mm]
>
Das habe ich schon versucht.
Ich komme auf:
[mm] $(\lfloor \sqrt{b}\rfloor+1)^2-1=(\sqrt{b}+1-x)^2-1=b+2\sqrt{b}(1-x)+(1-x)^2-1$.
[/mm]
Jedoch sehe ich hier auch nicht, wie ich auf kleiner b komme.
> Einsetzen und (mit Äquivalenzumformungen) "lorechnen"!
>
> P.S. Öhm... wenn [mm]b \in \IN\,,[/mm] dann ist sogar stets
> [mm]e=e_b=0\,[/mm]; stimmt
> die Aufgabenstellung? Ich meine, dann reduziert sich wegen
> [mm]b=\lfloor b\rfloor[/mm] auf
> [mm]b < (b+1)^2-1\,.[/mm]
> Das ist ja schon trivial...
Es soll doch gelten: [mm] $b<(\lfloor {\bf{\sqrt{b}}}\rfloor+1)^2-1$.
[/mm]
Vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Dudi,
edit: korrigiert!
wenn Du so rechnest, wie ich es
hier (klick!)
vorgeschlagen habe, reduziert sich Behauptung auf die offensichtlich
kommt man zur "wahren" Ungleichung
$$0 [mm] \le \xi \red{\;\le\;} \frac{2*\lfloor \sqrt{b} \rfloor}{2*\lfloor \sqrt{b} \rfloor+\red{\xi}}\,.$$
[/mm]
P.S. Okay, vielleicht sollte man sowas wie [mm] $\xi$ [/mm] anstatt [mm] $e\,$ [/mm] wählen. Das
war 'n blöder Variablenname - daher geändert!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Mo 21.01.2013 | | Autor: | DudiPupan |
Hallo Marcel,
vielen vielen Dank für deine Antwort.
So müsste es funktionieren.
Vielen Dank und einen schönen Abend
Liebe Grüße
Dudi
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> Hallo Dudi,
>
> edit: korrigiert!
>
> wenn Du so rechnest, wie ich es
>
> hier (klick!)
>
> vorgeschlagen habe, reduziert sich Behauptung auf die
> offensichtlich wahre
> Ungleichung
> [mm]0 \le \xi < \frac{2*\lfloor \sqrt{b} \rfloor}{2*\lfloor \sqrt{b} \rfloor+\red{\xi}}\,.[/mm]
Hallo nochmal,
ich stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch.
Ich sehe nicht, warum diese Ungleichung offensichtlich gilt.
Kann ich das noch irgendwie zeigen oder weiter vereinfachen?
Vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi
>
> P.S. Okay, vielleicht sollte man sowas wie [mm]\xi[/mm] anstatt [mm]e\,[/mm]
> wählen. Das
> war 'n blöder Variablenname - daher geändert!
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Di 22.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo Dudi,
> >
> > edit: korrigiert!
> >
> > wenn Du so rechnest, wie ich es
> >
> > hier (klick!)
> >
> > vorgeschlagen habe, reduziert sich Behauptung auf die
> > offensichtlich wahre
> > Ungleichung
> > [mm]0 \le \xi < \frac{2*\lfloor \sqrt{b} \rfloor}{2*\lfloor \sqrt{b} \rfloor+\red{\xi}}\,.[/mm]
>
> Hallo nochmal,
>
> ich stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch.
> Ich sehe nicht, warum diese Ungleichung offensichtlich
> gilt.
> Kann ich das noch irgendwie zeigen oder weiter
> vereinfachen?
reverend hat Recht - ich hatte da auch logisch "falsch herum" gedacht.
Wenn ich das richtig sehe:
Sei $a [mm] \in \IN$ [/mm] und wir betrachten alle natürlichen [mm] $b\,$ [/mm] mit [mm] $a^2 \le [/mm] b < [mm] (a+1)^2\,.$
[/mm]
Dann reicht es doch, die zu beweisende Ungleichung für [mm] $b=(a+1)^2-1$ [/mm] zu beweisen,
um herauszufinden, dass sie auch für alle [mm] $a^2 \le [/mm] b < [mm] (a+1)^2$ [/mm] gilt, denn
[mm] $(a+1)^2-1$ [/mm] ist "die größte natürlich Zahl im Intervall [mm] $[a^2,(a+1)^2)$", [/mm] und
natürlich gilt für alle natürlichen [mm] $b\,$ [/mm] mit [mm] $a^2 \le [/mm] b < [mm] (a+1)^2$ [/mm] doch [mm] $\lfloor \sqrt{b} \rfloor=a\,.$
[/mm]
Deswegen der Hinweis von reverend: Im Prinzip benutzt er nur, dass [mm] $\sqrt{\cdot}\,$ [/mm] (streng)
monoton wachsend ist! Was mich gerade irritiert, ist, dass meine
Ungleichung oben nicht äquivalent zur Behauptung ist - auch, wenn diese
Ungleichung von oben vielleicht doch eher nicht ganz offensichtlich wahr ist.
Das rechne ich aber nachher nochmal nach!
Edit: Deine Ungleichung stimmt so genau dann, wenn [mm] $b+1\,$ [/mm] keine
Quadratzahl ist [mm] $\blue{\text{und zudem }} [/mm] b [mm] \not=1$ [/mm] - denn $b [mm] \in \IN \setminus \{1\}$ [/mm] darf durchaus eine Quadratzahl sein.Denn das
entnimmst Du sofort obigen Überlegungen:
Wenn [mm] $a^2 \le [/mm] b < [mm] (a+1)^2-1\,,$ [/mm] dann ist halt insbesondere $b < [mm] (a+1)^2-1\,.$ [/mm] Und hier
ist ja [mm] $\lfloor \sqrt{b} \rfloor=a\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:29 Di 22.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marcel,
> wenn Du so rechnest, wie ich es
>
> hier (klick!)
>
> vorgeschlagen habe, reduziert sich Behauptung auf die
> offensichtlich wahre
> Ungleichung
> [mm]0 \le \xi < \frac{2*\lfloor \sqrt{b} \rfloor}{2*\lfloor \sqrt{b} \rfloor+\red{\xi}}\,.[/mm]
Für [mm] b=a^2+2a=(a+1)^2-1, a\in\IN [/mm] ist die Ungleichung nicht wahr. Dazu müsste man noch das rechte Relationszeichen in ein [mm] $\le$ [/mm] umwandeln. Dann passts.
Das ist im übrigen der Grund, warum ich die Untersuchung gerade solcher Zahlen vorgeschlagen hatte. 
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Di 22.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo Marcel,
>
> > wenn Du so rechnest, wie ich es
> >
> > hier (klick!)
> >
> > vorgeschlagen habe, reduziert sich Behauptung auf die
> > offensichtlich wahre
> > Ungleichung
> > [mm]0 \le \xi < \frac{2*\lfloor \sqrt{b} \rfloor}{2*\lfloor \sqrt{b} \rfloor+\red{\xi}}\,.[/mm]
>
> Für [mm]b=a^2+2a=(a+1)^2-1, a\in\IN[/mm] ist die Ungleichung nicht
> wahr. Dazu müsste man noch das rechte Relationszeichen in
> ein [mm]\le[/mm] umwandeln. Dann passts.
okay, mir ist nicht klar, warum das nicht der Fall sein sollte - denn der
Nenner rechterhand ist stets [mm] $\le 1\,.$ [/mm] Ich teste das jetzt mal:
Sei [mm] $a=2\,,$ [/mm] dann ist [mm] $b=(a+1)^2-1=8\,.$ [/mm] Ferner ist [mm] $\lfloor [/mm] b [mm] \rfloor=2\,.$
[/mm]
Es folgt
[mm] $$\xi=\sqrt{8}-2=0.8284\ldots \in [0,1)\,.$$
[/mm]
Okay, ich seh's: Rechterhand gehört tatächlich ein [mm] $\le\,$ [/mm] hin. Ich hatte
"falsch herum" gefolgert...
Danke, ich ändere das!
> Das ist im übrigen der Grund, warum ich die Untersuchung
> gerade solcher Zahlen vorgeschlagen hatte.
Okay - das war mir aber nicht so ganz klar. (Ich wollte eine rechnerische
Alternative vorschlagen!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mo 21.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zu zeigen:
> [mm]b<(\lfloor \sqrt{b}\rfloor+1)^2-1[/mm]
> Wobei [mm]b\in\mathbb{N}[/mm]
> keine Quadratzahl ist.
> Guten Abend zusammen,
> ich muss diese Ungleichung für einen Beweis per
> Schubfachprinzip zeigen, jedoch komme ich einfach nicht
> weiter.
> Ich weiß ja, dass gilt: [mm]\sqrt{b}<(\lfloor \sqrt{b}\rfloor+1)[/mm],bzw.
> [mm]b<(\lfloor \sqrt{b}\rfloor+1)^2[/mm].
> Jedoch stört mich das [mm]-1[/mm]
> am Ende und ich komme einfach nicht weiter.
> Würde mich sehr über Tipps freuen.
ich weiß auch nicht, was das ganze mit dem Schubfachprinzip zu tun hat.
Man kann es vielleicht so angehen: Man schreibt
[mm] $$\sqrt{b}=\lfloor \sqrt{b}\rfloor +\red{\xi}$$
[/mm]
mit einem $0 [mm] \le \red{\xi}=\red{\xi_b} [/mm] < [mm] 1\,,$ [/mm] daraus folgt
[mm] $$b={\sqrt{b}\,}^2=(\lfloor \sqrt{b}\rfloor +\red{\xi})^2=\ldots...$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:35 Di 22.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zu zeigen:
> [mm]b<(\lfloor \sqrt{b}\rfloor+1)^2-1[/mm]
> Wobei [mm]b\in\mathbb{N}[/mm]
> keine Quadratzahl ist.
Mal eine Frage, warum macht ihr das alle so kompliziert?
Es gilt doch [mm] $n^2 [/mm] + (2n+1) = [mm] (n+1)^2$. [/mm] Deswegen kann man $b$ schreiben als $b = [mm] \hat{b}^2 [/mm] + k$ mit [mm] $\hat{b} [/mm] = [mm] \lfloor\sqrt{b}\rfloor$ [/mm] und $0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] 2 [mm] \hat{b}$.
[/mm]
Damit erhaelt man sofort [mm] $(\lfloor\sqrt{b}\rfloor [/mm] + [mm] 1)^2 [/mm] - 1 = [mm] (\hat{b} [/mm] + [mm] 1)^2 [/mm] - 1 = [mm] \hat{b}^2 [/mm] + 2 [mm] \hat{b}$. [/mm] Da $k [mm] \le [/mm] 2 [mm] \hat{b}$ [/mm] ist folgt also sofort $b [mm] \le (\lfloor\sqrt{b}\rfloor [/mm] + [mm] 1)^2 [/mm] - 1$, und man sieht auch sofort, in welchem Fall man Gleichheit hat: und zwar wenn $k = 2 [mm] \hat{b}$ [/mm] ist, also $b = [mm] (\hat{b} [/mm] + [mm] 1)^2 [/mm] - 1$ ist, also eins kleiner als die naechste Quadratzahl. (Das sind genau die Zahlen, die Reverend vorgeschlagen hat zu untersuchen.) Insbesondere gilt die strikte Ungleichung auch fuer Quadratzahlen, allerdings nicht fuer Zahlen die eins kleiner sind.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:03 Di 22.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Felix,
> Moin!
>
> > Zu zeigen:
> > [mm]b<(\lfloor \sqrt{b}\rfloor+1)^2-1[/mm]
> > Wobei
> [mm]b\in\mathbb{N}[/mm]
> > keine Quadratzahl ist.
>
> Mal eine Frage, warum macht ihr das alle so kompliziert?
>
kompliziert ist Ansichtssache.
> Es gilt doch [mm]n^2 + (2n+1) = (n+1)^2[/mm]. Deswegen kann man [mm]b[/mm]
> schreiben als [mm]b = \hat{b}^2 + k[/mm] mit [mm]\hat{b} = \lfloor\sqrt{b}\rfloor[/mm]
> und [mm]0 \le k \le 2 \hat{b}[/mm].
>
> Damit erhaelt man sofort [mm](\lfloor\sqrt{b}\rfloor + 1)^2 - 1 = (\hat{b} + 1)^2 - 1 = \hat{b}^2 + 2 \hat{b}[/mm].
> Da [mm]k \le 2 \hat{b}[/mm] ist folgt also sofort [mm]b \le (\lfloor\sqrt{b}\rfloor + 1)^2 - 1[/mm],
> und man sieht auch sofort, in welchem Fall man Gleichheit
> hat: und zwar wenn [mm]k = 2 \hat{b}[/mm] ist, also [mm]b = (\hat{b} + 1)^2 - 1[/mm]
> ist, also eins kleiner als die naechste Quadratzahl. (Das
> sind genau die Zahlen, die Reverend vorgeschlagen hat zu
> untersuchen.) Insbesondere gilt die strikte Ungleichung
> auch fuer Quadratzahlen, allerdings nicht fuer Zahlen die
> eins kleiner sind.
Ja, denn das war das irritierende: Es gilt doch etwa
$$8 [mm] \le (2+1)^2-1\,,$$
[/mm]
weil [mm] $8=8\,,$ [/mm] aber
$$8 < [mm] (2+1)^2-1=8$$
[/mm]
ist Unsinn. Das war mir gestern auch nicht aufgefallen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Di 22.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Felix,
> Moin!
>
> > Zu zeigen:
> > [mm]b<(\lfloor \sqrt{b}\rfloor+1)^2-1[/mm]
> > Wobei
> [mm]b\in\mathbb{N}[/mm]
> > keine Quadratzahl ist.
>
> Mal eine Frage, warum macht ihr das alle so kompliziert?
>
>
> Es gilt doch [mm]n^2 + (2n+1) = (n+1)^2[/mm]. Deswegen kann man [mm]b[/mm]
> schreiben als [mm]b = \hat{b}^2 + k[/mm] mit [mm]\hat{b} = \lfloor\sqrt{b}\rfloor[/mm]
> und [mm]0 \le k \le 2 \hat{b}[/mm].
>
> Damit erhaelt man sofort [mm](\lfloor\sqrt{b}\rfloor + 1)^2 - 1 = (\hat{b} + 1)^2 - 1 = \hat{b}^2 + 2 \hat{b}[/mm].
> Da [mm]k \le 2 \hat{b}[/mm] ist folgt also sofort [mm]b \le (\lfloor\sqrt{b}\rfloor + 1)^2 - 1[/mm],
> und man sieht auch sofort, in welchem Fall man Gleichheit
> hat: und zwar wenn [mm]k = 2 \hat{b}[/mm] ist, also [mm]b = (\hat{b} + 1)^2 - 1[/mm]
> ist, also eins kleiner als die naechste Quadratzahl. (Das
> sind genau die Zahlen, die Reverend vorgeschlagen hat zu
> untersuchen.) Insbesondere gilt die strikte Ungleichung
> auch fuer Quadratzahlen, allerdings nicht fuer Zahlen die
> eins kleiner sind.
ich hab' mir das nun so überlegt:
Für $b [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\red{b\;>\;1}$ [/mm] gibt's (genau) ein $a [mm] \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $$a^2 \le [/mm] b < [mm] (a+1)^2\,,$$
[/mm]
nämlich [mm] $a:=\lfloor \sqrt{b} \rfloor\,.$
[/mm]
Mit [mm] $a:=\lfloor \sqrt{b} \rfloor$ [/mm] folgt die zu beweisende Ungleichung
wegen
$$b < [mm] (a+1)^2-1=(\lfloor \sqrt{b} \rfloor+1)^2-1\,,$$
[/mm]
sofern denn $b [mm] \not=1$ [/mm] und [mm] $b+1\,$ [/mm] keine Quadratzahl ist. [mm] $\text{(}$Denn [/mm] wenn
[mm] $b+1\,$ [/mm] keine Quadratzahl ist, so gilt ja
$$b [mm] \le (a+1)^2-2=(\lfloor \sqrt{b}\rfloor +1)^2-2\,. \text{)}$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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