Ablesen der Art der Kurve < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 So 17.10.2010 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Welche Kurve in [mm]\ \mathbb{C} [/mm] wird durch folgende Parameterform beschrieben [mm] (a\in \IR[/mm] fest, [mm] t\in \mathbb {R}) [/mm]
[mm]
z(t)=ae^{it}+\bruch{1}{a}e^{-it} [/mm] |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.onlinemathe.de/forum/Feststellen-der-Form-einer-Kurve]
Ich habe mich schon an einem Ansatz versucht, komme aber nicht zurecht.
Meine Frage lautet, wie es möglich ist, durch Umformungen einen Ausdruck herzuleiten, aus dem man dann die Art der Kurve ablesen kann.
Würde mich sehr freuen, wenn man mir einen Hinweis gibt, wie man eine derartige Aufgabe angeht! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 So 17.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Welche Kurve in [mm]\ \mathbb{C}[/mm] wird durch folgende
> Parameterform beschrieben [mm](a\in \IR[/mm] fest, [mm]t\in \mathbb {R})[/mm]
>
> [mm]
z(t)=ae^{it}+\bruch{1}{a}e^{-it} [/mm]
> Ich habe diese Frage
> auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten
> gestellt:
>
Hier bietet sich die Umformung in die trigonometrische Form an:
[mm] z(t)=a(cos(t)+i*sin(t))+\bruch{1}{a}(cos(t)-i*sin(t))
[/mm]
[mm] =(a+\bruch{1}{a})*cos(t)+i*(a-\bruch{1}{a})*sin(t))
[/mm]
Das ist erkennbar eine Ellipse mit der großen Halbachse [mm] (a+\bruch{1}{a}) [/mm] und der kleinen Halbachse [mm] (a-\bruch{1}{a}).
[/mm]
Gruß Abakus
> Meine Frage lautet, wie es möglich ist, durch Umformungen
> einen Ausdruck herzuleiten, aus dem man dann die Art der
> Kurve ablesen kann.
> Würde mich sehr freuen, wenn man mir einen Hinweis gibt,
> wie man eine derartige Aufgabe angeht! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 So 17.10.2010 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Welche Kurve in [mm] \mathbb{C} [/mm] wird durch folgende Parameterform beschrieben?
[mm] z(t)=a(1+e^{it})^{-2} [/mm] |
Ich möchte mich zuerst einmal für die vorige Antwort bedanken, diese war einleuchtend für mich!
Bei diesem Beispiel möchte ich nun meinen bisherigen Erfolg präsentieren:
[mm] z(t)=a(1+e^{it})^{-2} = \frac{a}{(1+cos(t)+isin(t))^2}
= \frac{a}{a\cdot(cos(t))^2+2cos(t)+2sin(t)(cos(t)+1)i} [/mm]
Nun, aus dieser ist aber meiner Ansicht nach keine bekannte Parameterdarstellung einer Kurve zu entnehmen, daher handelt es sich um keine spezielle Kurve.
Kann ich nun so argumentieren, oder übersehe ich hier etwas wesentliches?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 So 17.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Welche Kurve in [mm]\mathbb{C}[/mm] wird durch folgende
> Parameterform beschrieben?
> [mm]z(t)=a(1+e^{it})^{-2}[/mm]
> Ich möchte mich zuerst einmal für die vorige Antwort
> bedanken, diese war einleuchtend für mich!
>
> Bei diesem Beispiel möchte ich nun meinen bisherigen
> Erfolg präsentieren:
> [mm]z(t)=a(1+e^{it})^{-2} = \frac{a}{(1+cos(t)+isin(t))^2}
= \frac{a}{a\cdot(cos(t))^2+2cos(t)+2sin(t)(cos(t)+1)i}[/mm]
Die Umformuing ist falsch. Wie kommt z.B. das a in den Nenner?
> Nun, aus dieser ist aber meiner Ansicht nach keine bekannte
> Parameterdarstellung einer Kurve zu entnehmen, daher
> handelt es sich um keine spezielle Kurve.
>
> Kann ich nun so argumentieren, oder übersehe ich hier
> etwas wesentliches?
Mach es mal anders:
[mm] e^{it}ist [/mm] der Einheitskreis in der GZE.
[mm] 1+e^{it} [/mm] verschiebt ihn um 1 nach rechts.
Gleichung: [mm] 1+e^{it}=
[/mm]
Jetzt darauf die Abbildung [mm] 1/(...)^2 [/mm] anwenden.
Dabei wird der dem Ursprung fernste Punkt (2+0i) auf (0,25+0*i) abgebildet, der Ursprung selbst wandert ins Unendliche.
Ich tippe auf eine Parabel symmetrisch zur reellen Achse mit dem Scheitel bei (0,25+0*i).
Gruß Abakus
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Hallo Abakus!
Vielen Dank für deine Mühe mir zu helfen!
Jedoch bleibt mir unklar, was du mit Gleichung "[mm] 1+e^{it} = [/mm]" meinst. Ok, ich habe nun das ganze umgeformt und bin dann schließlich auf [mm] 1+e^{it}=\sqrt{\frac{a}{z(t)}} [/mm] gekommen, was dann schließlich [mm] 1+e^{it}= 2e^{it}\cdot(cos(t)+1) [/mm] ergibt.
Welche Abbildung soll nun darauf angewendet werden, du hast den Nenner von dieser nämlich unbestimmt lassen, daher kenne ich mich nicht aus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 19.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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