Ableitungsregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:03 Sa 07.10.2006 | | Autor: | allida |
guten abend an alle
ich habe fragen zur folgender aufgabe:
ich soll mit der quotientenregel beweisen, also zeigen, dass für
[mm] h=\bruch{1}{g} [/mm] folgendes gilt:
1)
h'(x) = - [mm] \bruch{g'}{g^{2}}, [/mm] dies soll die sogenannte rezipokregel darstellen.
2)
h''(x)= - [mm] \bruch{2(h')²-h*h''}{h³}
[/mm]
also, ich habe mich natürlich bezüglich dieser regel schon bisschen informieren können. aber icvh habe leider nur beweise mit der kettenregel gefunden.
kann mir deshalb bitte bei dieser aufgabe weiterhelfen???
denn ich weiss zudem noch, dass ich in meinem ergebnis auch alle voraussetzungen , die für h erfüllt werden müssen, zu schreiben habe.
auch bei den voraussetzungen komme ich leider nicht weiter.
ich hoffe, dass diese ableitngsregel eine leichte ist, und ich sie bis jetzt nur nicht gehabt habe.
hoffe ich verstehe das.
ich danke euch im voraus.
lg allida
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 Sa 07.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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> guten abend an alle
>
> ich habe fragen zur folgender aufgabe:
>
> ich soll mit der quotientenregel beweisen, also zeigen,
> dass für
> [mm]h=\bruch{1}{g}[/mm] folgendes gilt:
>
> 1)
>
> h'(x) = - [mm]\bruch{g'}{g^{2}},[/mm] dies soll die sogenannte
> rezipokregel darstellen.
Nun, damit das gelten kann, muss g(x) erst einmal differenzierbar sein und es muss gelten [mm] g'(x)\not=0
[/mm]
Dann kann ich [mm] h(x)=\bruch{\overbrace{1}^{=u}}{\underbrace{g(x)}_{=v}} [/mm] bilden und auch ableiten.
Mit Hilfe der Quotientenregel ergibt sich
[mm] h'(x)=\bruch{u'v-v'u}{v²}=\bruch{0*g(x)-g'(x)*1}{g(x)²}
[/mm]
Jetzt noch ein wenig vereinfachen und Fertig.
>
> 2)
>
> h''(x)= - [mm]\bruch{2(h')²-h*h''}{h³}[/mm]
Es gilt ja, wie schongezeigt
[mm] h'(x)=-\bruch{g'(x)}{g(x)²}
[/mm]
Und duweisst, dass die Zweite Ableitung der Originalfunktion die erste Ableitung der Ableitung ist.
Jetzt wissen wir, dass man wieder die Quotientenregel anwenden kann
Also [mm] h''(x)=(-\bruch{g'(x)}{g(x)²})'=-\bruch{g''(x)*(g(x))²-2g(x)*g'(x)*g'(x)}{(g(x)²)²}
[/mm]
(Die Ableitung von g(x)²ist [mm] \underbrace{2*g(x)}_{aeussere Abl.}*\underbrace{g'(x)}_{innere Abl.} [/mm] (Kettenregel)
und vereinfachen und Kürzen führt zu
[mm] -\bruch{g''(x)*(g(x))²-2g(x)*g'(x)g'(x)}{(g(x)²)²}=-\bruch{g''(x)*g(x)-2g'(x)*g'(x)}{g(x)³}=\bruch{-(g''(x)g(x)-2(g'(x)²))}{g(x)³}=\bruch{-g''(x)g(x)+2(g'(x)²)}{g(x)³}=\bruch{2(g'(x)²)-g''(x)g(x))}{g(x)³}
[/mm]
>
> also, ich habe mich natürlich bezüglich dieser regel schon
> bisschen informieren können. aber icvh habe leider nur
> beweise mit der kettenregel gefunden.
>
> kann mir deshalb bitte bei dieser aufgabe weiterhelfen???
>
> denn ich weiss zudem noch, dass ich in meinem ergebnis auch
> alle voraussetzungen , die für h erfüllt werden müssen, zu
> schreiben habe.
> auch bei den voraussetzungen komme ich leider nicht
> weiter.
>
> ich hoffe, dass diese ableitngsregel eine leichte ist, und
> ich sie bis jetzt nur nicht gehabt habe.
> hoffe ich verstehe das.
>
>
> ich danke euch im voraus.
>
> lg allida
Hilft dir das weiter?
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Sa 07.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi allida,
ich denke Du kannst das am Besten mit der Quotientenregel berechen.
Also [mm] (\bruch{u}{v})'=\bruch{u'*v-v'u}{v^2}
[/mm]
mit u=1 und v=g folgt
[mm] h'=\bruch{0*g-g'1}{g^2}=\bruch{-g'}{g^2}
[/mm]
Aufgabe 2 geht analog
mfg ullim
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