Ableitungsgraphen bestimmen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo.
Ich habe 2 Fragen bezüglich uns gestellten Aufgaben.
1. Wir haben Graphen einer Funktion bekommen (ohne die Funktionsvorschrift) und sollen den Graphen der ABleitung bestimmen.
Wie genau mache ich das? Ich habe mir gedacht, dass ich mir Extremwerte anschaue, da die Ableitungsfunktion in diesem Punkt die Steigung 0 hat, da die Tangente in diesem Punkt eine Konstante ist.
Also f'()=m*0 +b.
Bedingung für Extremstellen soll ja sein f'(x)=0.
Nehme ich mir jedoch einen Punkt P(2/10) bspsw. und bestimmte ihn als Maximum so hat die Ableitung bei P eigentlich ja nur keine Steigung, sprich sie ist eine Konstante, jedoch hat sie immernoch den Funktionswert 10.
Warum spricht man davon, dass f'(x)=0 sein muss?
Fener wüste ich gerne, welchen Funktionswert ich denn nehmen soll.
Bspw: [mm] f(x)=(x-4)^2
[/mm]
u(x)=x-4=y
[mm] v(y)=y^2 [/mm]
f'(x)=2*(x-4)+1=2x-4+1=2x-7
0=2x-7 7=2x 3.5=x
In der Ausgangsfunktion habe ich ein Minima an der Stelle 4.
An dieser Stelle hat die Tangente keine Steigung und ist konstant.
In der Ableitungsfunktion hat der Graph jedoch an der Stelle 4, den Wert 1 und an 3.5 den Wert 0. Also die Nullstelle.
Habe ich einen Rechenfehler gemacht, oder muss der Wert von der Funktionsgleichung nicht mit der Nullstelle übereinstimmen?
2.
Ich soll an einem Graphen die Stelle bestimmen, an der dieser nicht differenzierbar ist.
Dies ist ja der Fall, wenn er keine eindeutige Tangentensteigung hat.
Bei uns sieht der Graph wie folgt aus und mein Kreis ist der Punkt (ca.) an dem der Punkt nicht differenzierbar ist.
Ist das so richtig?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße und danke im Voraus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Mo 13.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du schilderst das etwas eigenartig, aber deine Fkt. f_(x) hat bei den max und min Nullstellen. wenn du einen Wendepunkt entdeckst, dann hat sie da nen max oder Min. im übrigen bestimmt man die steigung ungegähr , indem man die Steigung von Seh zwischen z. bsp 0 und 2 bestimmt und den Wert der Steigung in der Mittee, also bei 0.5 einträgt, oder du machst die sehnen noch was kürzer. an ner senkrechten Stelle oder einem echten knick existiert die ableitung nicht, g: hat da nen Pol.
Gruss leduart
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Hallo und danke für die flotte Antwort.
Ich muss zugeben, dass ich auch etwas Probleme habe, dass wörtlich zu beschreiben.
Dennoch versuche ich es noch einmal:
Ich habe eine beliebige Funktion f(x) zeichnerisch gegeben.
Das heißt ich weiß weder ob die Funktion in [mm] \IN \IR \IZ [/mm] etc. definziert ist.
Ebenso wenig weiß ich die Funktionsvorschrift.
Ich sehe nur den Graphen vor mir, der bspw. permanent konstant verläuft, bis er sich zu einer " Welle" formt (also ein Maxima erreicht) danach wieder abfällt und konstant weiterläuft.
Ich weiß, dass eine hinreichende Bedingung für eine Extremstelle f'(x)=0 ist. <- Ableitung!
Und schon hier habe ich ein Problem mit der Aussage:
Bildlich gesprochen, handelt es sich bei der Ableitung an einem bestimmten Punkt um die Tangente, die durch diesen Punkt läuft.
Es ist klar, dass bei einem Extremwert, die Tangente keine Steigung hat (es ist ja sogesehen der Übergang zwischen steigen und fallen).
Stelle ich eine Funktion auf, die den Graphen der Tangente beschreibt g(x)=mx+b so ist m=0 in diesem Punkt.
Nehme wir bspw. eine Funktion die bei 2/10 ein Maximum hat.
Die Tangente hat in diesem Punkt keine Steigung. Demnach wäre g'(2)=0+10.
Oder sehe ich das falsch?
Warum nun f'(x)=0 hinreichend sein soll, um eine Extremstelle zu finden, verstehe ich nicht ganz.
Hinzu kommt noch, dass auch nicht nach der Tangente an der Stelle gefragt
wird, sondern nach der Ableitung.
Wie ich diese aus einem vorgegebenen Graphen zeichnen soll erschließt sich mir demnach auch nicht.
Ich hoffe ihr/du versteht mein Problem nun besser und natürlich würde ich mich über Hilfe freuen.
Zusätzlich wüsste ich noch gerne, warum an einem Knick keine Tangente existiert.
Liegt dies daran, dass vor einem Knick mehrere Werte der Wertemenge senkrecht übereiander stehen und eine senkrechte keine eindeutige bestimmbare Tangente hat?
Grüße und danke im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Mo 13.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du verwechselst Tangente, eine Gerade und Tangentensteigung in einem [mm] Punkt(x_0,f(x_0) f'(x_0) [/mm] das ist bei nem max oder min also 0
wenn eine funktion waagerecht läuft ist natürlich auch da f'=0
an einer "Ecke" gibt es zwar Geraden, die die Kurve nicht schneiden, aber keine eindeutige Steigung. dann existiert kein f' an der Stelle.
Wenn du eine extrmstelle hast ist f'=0 aber wenn f'(x_=)=0 ist reicht das bicht aus, damit man sicher einen Extremwert hat Bsp [mm] f(x)=x^3 [/mm] bei x=0 f'(0)=0 aber kein Extr.
du musst dir wirklich noch mal klar machen, was f'(x) angibt.
Was du mit :"ob die Funktion in $ [mm] \IN \IR \IZ [/mm] $ etc. definziert ist". meinst weiss ich nicht, in nur [mm] \IN [/mm] kannsi ja nicht existieren, wenn sie an Stellen [mm] x\ne [/mm] n gezeichnet ist, funktionen auf [mm] \IN [/mm] kann man nicht differnzieren,
wie du f*(x) zeichnen sollst (ungefähr) hab ich dir gesagt, daruf bist du mit keinem wort eingegangen.
gruss leduart
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Hallo und danke für die Antwort.
Mit [mm] \IN; \IR; \IZ [/mm] meinte ich einfach, dass keine Funktionsvorschrift gegeben ist.
Es steht dort nicht:
f: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
x [mm] \mapsto x^2
[/mm]
Ja das mit der Tangente und der Tangentensteigung will mir noch nicht in den Kopf gehen.
Wenn ich eine Funktion an einem bestimmen Punkt ableite, so drückt die Ableitung an diesem Punkt doch aus, welche Steigung der Graph an diesem Punkt hat.
Zeichnerisch kann man das darstellen als Tangente durch den Punkt P.
Mathematisch ist die Ableitungsfunktion f'(x) jedoch eine neue Funktion, die bei den selben Definitionswerten von f(x) unterschiedliche Werte annehmen kann.
[mm] f(x)=x^2 [/mm] -> f(3)=9
f'(x)=2x -> f(3)=6
Und dieser Zusammenhang zwischen f'(x)=0 und f(x) fehlt mir.
Warum muss die Ableitung um eine hinreichende Bedingung für eine Extremstelle zu sein f'(x)=0 sein.
Die Tangente an diesem Punkt ist eine Horizontale.
Die ursprüngliche Funktion hat an diesem Punkt keine Steigung.
Das erklärt aber doch nicht, warum f'(x)=0 sein muss.
Und zu der Methode mit den Sehnen:
Ich habe nur ein Bild gegeben.
Keine Funktionsvorschrift. Keine Beschriftung des Koordinatensystems.
Nur den Graphen selbst.
Den Satz verstehe ich nicht:
an einer "Ecke" gibt es zwar Geraden, die die Kurve nicht schneiden, aber keine eindeutige Steigung.
Es gibt doch Geraden die die Kurve schneiden, selbst an einer Ecke, oder nicht?
Und zu Max und Min und den dazugehörigen Nullstellen.
Wenn ich ein Maximum bei 2/1 habe, dann heißt das für meine Ableitungsfunktion, dass sie bei 2 eine Nullstelle hat?
Viele Grüße und danke im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Di 14.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und danke für die Antwort.
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> Mit [mm]\IN; \IR; \IZ[/mm] meinte ich einfach, dass keine
> Funktionsvorschrift gegeben ist.
> Es steht dort nicht:
>
> f: [mm]\IR \to \IR[/mm]
> x [mm]\mapsto x^2[/mm]
>
> Ja das mit der Tangente und der Tangentensteigung will mir
> noch nicht in den Kopf gehen.
>
> Wenn ich eine Funktion an einem bestimmen Punkt ableite, so
> drückt die Ableitung an diesem Punkt doch aus, welche
> Steigung der Graph an diesem Punkt hat.
> Zeichnerisch kann man das darstellen als Tangente durch
> den Punkt P.
>
> Mathematisch ist die Ableitungsfunktion f'(x) jedoch eine
> neue Funktion, die bei den selben Definitionswerten von
> f(x) unterschiedliche Werte annehmen kann.
> [mm]f(x)=x^2[/mm] -> f(3)=9
> f'(x)=2x -> f(3)=6
>
> Und dieser Zusammenhang zwischen f'(x)=0 und f(x) fehlt
> mir.
> Warum muss die Ableitung um eine hinreichende Bedingung
> für eine Extremstelle zu sein f'(x)=0 sein.
>
> Die Tangente an diesem Punkt ist eine Horizontale.
> Die ursprüngliche Funktion hat an diesem Punkt keine
> Steigung.
> Das erklärt aber doch nicht, warum f'(x)=0 sein muss.
Doch, das ist die anschauliche Erklärung !
Die analytische: nimm an, f hat in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Maximum.
Für [mm] x
Für [mm] x>x_0 [/mm] und x nahe bei [mm] x_0 [/mm] ist dann [mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \le [/mm] 0
Ist f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, so folgt: [mm] f'(x_0)=0
[/mm]
FRED
>
> Und zu der Methode mit den Sehnen:
> Ich habe nur ein Bild gegeben.
> Keine Funktionsvorschrift. Keine Beschriftung des
> Koordinatensystems.
> Nur den Graphen selbst.
>
> Den Satz verstehe ich nicht:
> an einer "Ecke" gibt es zwar Geraden, die die Kurve nicht
> schneiden, aber keine eindeutige Steigung.
>
> Es gibt doch Geraden die die Kurve schneiden, selbst an
> einer Ecke, oder nicht?
>
> Und zu Max und Min und den dazugehörigen Nullstellen.
> Wenn ich ein Maximum bei 2/1 habe, dann heißt das für
> meine Ableitungsfunktion, dass sie bei 2 eine Nullstelle
> hat?
>
> Viele Grüße und danke im Voraus.
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Di 14.12.2010 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke für die Antworten.
Bin jetzt nochmal die Definitionen und die Beiträge hier durchgegangen und habe es verstanden.
Mein Verstädnisproblem ergab sich aus der Tatsache, dass ich von f(x)=mx+b ausgegangen bin, also einer linearen Funktion, wobei m= Steigung der des Graphen ist und ich versucht habe, dass auf Gleichungen höheren Gerades etc. anzuwenden.....
Danke für die Hilfe :)
Viele Grüße
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