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| Aufgabe | Gegeben ist eine Funktion [mm] f(x)=0,5x^{2}+2.
[/mm]
Eine Tangente geht durch den Punkt P(1/0).
Berechne den Brührpunkt B an die Funktion. |
Hallo zusammen,
Meine Grundidee bisher war:
1. Die Ableitungsfunktion zu bestimmen
2.Mithilfe der Ableitungsfunktion und des Punktes P die Gleichung für die Tangente auszurechnen
3.Die Gleichung der Tangente und die der Funktion gleichzusetzen:
1.f '(x)=x
2.f '(1)=1 (Steigung Tangente) mit Y=mx+c erhält man durch Einsetzen:
0=1+c ; c=-1 ; Tangentengleichung: Y=x-1
3. f '(x) = f(x)
[mm] x-1=0,5x^{2}+2...nur [/mm] glaube ich, dass das nicht stimmen kann, weil wenn man es mit der Mitternachtsformel auflöst, steht unter der Wurzel eine negative Zahl...
Kann mir bitte jemand helfen?wenns geht mit Erläuterung.
Danke schonmal im Vorraus!MFG
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Das Problem ist, dass die Tangente zwar durch den Punkt P(1|0) geht, aber das, was du ausrechnest setzt ja schon voraus, dass die Gerade die Funktion f praktisch in P tangiert! (Du benutzt f'(1), um die Steigung der Tangente herauszubekommen, d.h. du sagst, dass die Tangente bei der Stelle 1 an der Funktion f anliegt).
Das ist jedoch nicht vorausgesetzt.
Die Ableitung hast du richtig berechnet. Es ist
f(x) = [mm] \bruch{1}{2}*x^{2}+2
[/mm]
f'(x) = x
Nun die Überlegung: Wir wissen, dass die Tangente sich durch folgende lineare Funktion ausdrücken lässt:
h(x) = m*x+n
Außerdem wissen wir, dass sie durch den Punkt P(1|0) geht, d.h. es muss erfüllt sein:
0 = m*1+n
[mm] \gdw [/mm] -m = n
Wir wissen nun also schon, dass die Tangente h die Gestalt
h(x) = m*x - m = m*(x-1)
hat. Nun benutzen wir den letzten Hinweis: Wenn die Funktion h(x) irgendwo f tangieren soll, so muss h(x) an dieser Stelle x denselben Funktionswert haben wie f(x), es muss also gelten:
h(x) = f(x)
m*(x-1) = [mm] \bruch{1}{2}*x^{2}+2
[/mm]
Wir wissen: m wäre an dieser Stelle dann gleich m = f'(x) = x:
x*(x-1) = [mm] \bruch{1}{2}*x^{2}+2
[/mm]
Dies führt auf zwei Lösungen:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] 1+\wurzel{5}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] 1-\wurzel{5}
[/mm]
Nun, da wir wissen, an welchen Stellen [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] die Tangente h anliegen muss damit die Forderung erfüllt ist, berechnet man noch [mm] f(x_{1}) [/mm] bzw. [mm] f(x_{2}), [/mm] um die Berührpunkte angeben zu können.
Man erhält
[mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] 5+\wurzel{5}
[/mm]
[mm] f(x_{2}) [/mm] = 5 - [mm] \wurzel{5}
[/mm]
Und somit sind die beiden Berührpunkte:
[mm] P_{1}(x_{1}|f(x_{1})) [/mm] = [mm] P_{1}(1+\wurzel{5}|5+\wurzel{5})
[/mm]
[mm] P_{2}(x_{2}|f(x_{2})) [/mm] = [mm] P_{2}(1-\wurzel{5}|5-\wurzel{5})
[/mm]
Fertig! 
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