Ableitungsfunktion der ln-fkt < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:05 Mi 11.01.2012 | | Autor: | MadSebastian |
| Aufgabe | Leiten Sie ab.
a) f(x) = x + ln(2x)
b) f(x) = [mm] x^2 [/mm] * ln(x) |
Hallo, kann mir jemand erklären wie ich auf die Ableitungen dieser beiden Aufgaben komme? Sind die einzigsten Aufgaben auf der Seite im Buch, die ich nicht hinkriege! Habe zwar die Lösung aus dem Lösungsbuch, möchte aber die einzelnen Zwischenschritte auch verstehen und nicht einfach das Endergebnis abschreiben.
Liebe Grüße
Sebastian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
die Ableitung der ln(x)-Funktion lautet [mm] \bruch{1}{x} [/mm].
Summanden bleiben beim Ableiten erhalten, für Produkte gilt
bei
[mm] f(x) = u(x) \cdot v(x) [/mm] für die Ableitung
[mm] f^{'}(x) = u^{'} (x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^{'}(x) [/mm]
Außerdem die Kettenregel nicht vergessen.
Damit bekommst Du für die erste Gleichung
[mm] f^{'}(x) = 1 + \bruch{1}{2x}\cdot 2 [/mm]
Beim letzten Term habe ich die Kettenregel angewendet.
Jetzt bist Du dran.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo Infinit, also müsste ich nun nur noch Zusammenrechnen und dann anschließend kürzen, um auf
f(x) = 1 + 1/x
als Ergebnis zu kommen?
Sorry, dass ich nicht die korreke Funktionsschreibeweise verwendet habe, sitze leider gerade an einem MAC mit Windoofs-Tastatur.
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Hallo, die Ableitung deiner 1. Funktion ist ok, Steffi
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Habe nun mal an der Aufgabe b) weitergerechnet.
Habe dann als Zwischenschritt
f'(x) = 2x * ln(x) + [mm] x^2 [/mm] * 1/x * (1)
verstehe nun nicht, wie ich das weiter zusammenfassen kann...
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Hallo MadSebastian,
> Habe nun mal an der Aufgabe b) weitergerechnet.
>
> Habe dann als Zwischenschritt
>
> f'(x) = 2x * ln(x) + [mm]x^2[/mm] * 1/x * (1)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> verstehe nun nicht, wie ich das weiter zusammenfassen
> kann...
Zunächst kannst Du den zweiten Summanden vereinfachen.
Dann gegebenfalls eine Faktor ausklammern.
Gruss
MathePower
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mir gelingt das mit dem vereinfachen nicht so recht!
habe nun auf meinem blatt stehen: f'(x) = 2x * ln(x) + [mm] x^2 [/mm] * 1/x
weiss nun nicht wie ich weiter vorgehen soll...
irgendwas muss ich ja noch mit dem 2. Summanden machen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sebastian!
Sieht soweit gut aus. Beim zweiten Term kannst Du noch kürzen. Es gilt doch:
[mm] $x^2*\bruch{1}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x*x}{x} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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Danke für die qulitativen Antworten! Aufgaben sind nun alle komplett gelöst, kann ich morgen mit ruhigem Gewissen in die Schule gehen.
LG Sebastian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> die Ableitung der ln(x)-Funktion lautet [mm]\bruch{1}{x} [/mm].
nur ergänzend: Es wird ja oft suggeriert, dass jeder Schüler das auswendig lernen "muss". Aber um das einzusehen braucht man nur die Kettenregel, und das Wissen, dass [mm] $\ln$ [/mm] die Umkehrfunktion von [mm] $\exp: \IR \to (0,\infty)$ [/mm] ist, sowie [mm] $\exp'=\exp$:
[/mm]
Mit [mm] $f(x)=\exp(x)$ [/mm] ($x [mm] \in \IR)$ [/mm] und [mm] $g(x)=\ln(x)$ [/mm] ($x > [mm] 0\,$) [/mm] gilt daher
$$(f [mm] \circ g)'(x)=f'(g(x))*g'(x)\,.$$
[/mm]
Nun gilt hier für $x > [mm] 0\,$
[/mm]
$$(f [mm] \circ g)(x)=x\,.$$
[/mm]
Beide Seiten nach [mm] $x\,$ [/mm] ableiten und Kettenregel anwenden liefet
[mm] $$f'(g(x))*g'(x)=1\,.$$
[/mm]
(Diese zwei Zeilen beinhalten gerade die Herleitung für die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion!)
Da hier speziell [mm] $f'=f=\exp$ [/mm] ist
[mm] $$\exp(\ln(x))*\ln'(x)=1\,.$$
[/mm]
Also
[mm] $$x*\ln'(x)=1\,.$$
[/mm]
Nach Division durch $x [mm] >0\,$ [/mm] folgt die Behauptung.
In gewohnter "aus der Schule gewöhnter Kurznotation" kann man das alles ganz schnell hinschreiben, und diese Herleitung kann man sich wirklich in ein paar Sekunden überlegen:
[mm] $$\exp(\ln(x))=(\exp \circ \ln)(x)=x$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow \text{wegen Kettenregel gilt: }\;\;\;\;\;\exp'(\ln(x))*\ln'(x)=1$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow \text{wegen }\exp'=\exp \text{ und }\exp(\ln(x))=x\text{ gilt: } \;\;\;\;\; x*\ln'(x)=1$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow \text{wegen } [/mm] x > 0 [mm] \text{ gilt: }\;\;\;\;\;\ln'(x)=1/x\,.$$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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