Ableitungen und Integralr. < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Do 31.03.2005 | | Autor: | Die_Miri |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
kann mir bitte jemand helfen! Benötige dringend die Ableitung von
f(x) = 8 (x-1) e^(-X)
durch Kettenregel komme ich auf
innere Funktion : -8e^(-x)
äußere Funktion : 1
f´(x) = -8e^(-x) (x-1) ??????????????
Weiteres Problem: Berechnen des Hochpunktes :
f´(x) = 0
aber wie löse ich diese ableitung nach x auf ??
Benötige dringend hilfe! DANKESCHÖN
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Do 31.03.2005 | | Autor: | Die_Miri |
aufgabenteil c)
Das Schaubild K, die Tangente im Hochpunkt von K und die y-Acshe schließen eine Fläche ein. Berechnen die den flächeninhalt A dieses Flächenstücks exakt.
K ist schaubild von f f(x) lautet f(x)= 8(x-1) e^(-x)
Habe leider keine ahnung ! Brauche dringend hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Do 31.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Miriam!
> Das Schaubild K, die Tangente im Hochpunkt von K und die
> y-Achse schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie den
> Flächeninhalt A dieses Flächenstücks exakt.
>
> K ist schaubild von f f(x) lautet f(x)= 8(x-1) e^(-x)
Für diesen Aufgabenteil benötigen wir zunächst andere Zwischenergebnisse aus den Voraufgaben (wie z.B. die beiden Koordinatenwerte für den Hochpunkt).
Daher sollten wir zunächst diese Teilaufgaben weiter unten lösen, bevor wir uns hier 'ran wagen ...
Für das Integral, das hier dann berechnet werden muß, solltest Du Dir vorher nochmal die partielle Integration ansehen ...
Gruß
Loddar
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Hi, Miri,
hab' natürlich keinen Dunst, ob Du die "partielle Integration" kennst.
Wenn ja, dann kannst Du die Stammfunktion damit bestimmen, wenn Du u(x) = 8(x-1) und v'(x) = [mm] e^{-x} [/mm] setzt.
Wenn nicht, musst Du Deine Logik einsetzen und das, was Du über die Ableitungen von f(x) bemerkt hast: Die Ableitungen sind nämlich alle "vom selben Typ": [mm] 8*(ax+b)*e^{-x}.
[/mm]
Das gilt dann natürlich auch für die Stammfunktion:
F(x) = [mm] 8(ax+b)*e^{-x}.
[/mm]
Als nächstes nützen wir aus, dass die Stammfunktion abgeleitet f(x) ergeben muss, also: F'(x)= f(x), und machen schließlich "Koeffizientenvergleich":
F'(x) = [mm] 8*a*e^{-x} [/mm] + [mm] 8*(ax+b)*e^{-x}*(-1)
[/mm]
= [mm] 8*(-ax+(a-b))*e^{-x} [/mm]
Dies soll nun also gleich [mm] 8*(x-1)*e^{-x} [/mm] sein für alle x [mm] \in [/mm] R.
8 und auch [mm] e^{-x} [/mm] stimmen ja schon überein; müssen nur noch die Klammern gleich sein:
(-ax + (a-b)) = (x - 1)
Das heißt: -a = 1 oder: a=-1.
(a-b) = -1 oder: b = a+1; Da a=-1, muss b=0 sein.
Damit ist die Stammfunktion gefunden: F(x) = [mm] -8x*e^{-x}
[/mm]
oder in Integralschreibweise: [mm] \integral{8*(x-1)*e^{-x}dx} [/mm] = [mm] -8x*e^{-x}+c. [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Do 31.03.2005 | | Autor: | Die_Miri |
vielleicht
f´(x)= e^(-x) (9-8x)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Do 31.03.2005 | | Autor: | Disap |
> vielleicht
>
> f´(x)= e^(-x) (9-8x)
Ne, die ist nicht richtig.
Rückfrage:
Bist du sicher, dass du bei der Integralrechnung die Y-Achse meinst? Die X-Achse würde mir sinvoller erscheinen.
Grüße Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Do 31.03.2005 | | Autor: | Die_Miri |
das mit der y- Achse stimmt so! Steht in der Klassenarbeitsfrage so drin!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Do 31.03.2005 | | Autor: | Die_Miri |
ich komm einfach nciht auf die Ableitung..............
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Hallo,
die Ableitung zur Funktion sieht so aus:
[mm]
\begin{gathered}
f(x)\; = \;8\;\left( {x\; - \;1} \right)\;e^{ - x} \hfill \\
f'(x)\; = \;8\;\left( {1\;e^{ - x} \; - \;\left( {x\; - \;1} \right)\;e^{ - x} } \right) \hfill \\
= \;8\;\left( {2\; - \;x} \right)\;e^{ - x} \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Do 31.03.2005 | | Autor: | mat84 |
x-Achse, Funktionsgraph und Tangente würd auch keinen Sinn machen, da sie zusammen keinen Flächeninhalt einschließen...
Bisschen unpraktisch ist das mit der y-Achse aber schon, da der gesuchte Flächeninhalt teilweise oberhalb und teilweise unterhalb der x-Achse liegt (zumindest laut dem Programm, das ich hab zeichnen lassen)... d. h. man muss mehrere Teilintegrale berechnen, um zu verhindern, dass sich der "positive" Flächeninhalt oberhalb der Achse und der "negative" unterhalb der Achse teilweise aufheben, denn dann bekäme man ja nicht die gesamte gesuchte Fläche raus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Do 31.03.2005 | | Autor: | Die_Miri |
also tangente im hochpunkt und die y-achse umschließen die fläche
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Do 31.03.2005 | | Autor: | Die_Miri |
vielen dank! Jetz hab ichs verstanden ich habs am ende nur falsch eingesetzt! Dankeschön!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Do 31.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Miriam!
Kannst Du denn nun die Extremwerte und Wendestellen berechnen?
Hast Du bereits die 2. Ableitung $y''$ ermittelt?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Do 31.03.2005 | | Autor: | Die_Miri |
ich muss ja nur den hochpunkt berechnen!
Ich hab jetz f´(x)= 0 gesetzt
also 2-x = 0
x= 2
Beweis f´(2)= 0
dann 2 in die funktion einsetzen dann hab ich HP (2/ 1 2/15) kann das sein??
Wie komme ich jetz auf die Tangente im Hochpunkt ??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Do 31.03.2005 | | Autor: | Die_Miri |
steigung beträgt null
y= mx +b
hochpunkt einsetzen für m null einsetzen und nach b aufläsen und schon aht man die gleichung!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Do 31.03.2005 | | Autor: | Loddar |
> steigung beträgt null
>
> y= mx +b
>
> hochpunkt einsetzen für m null einsetzen und nach b
> aufläsen und schon aht man die gleichung!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Do 31.03.2005 | | Autor: | Die_Miri |
juhu *gg*
wenn ich des jetz hab muss ich ja noch die fläche berechnen die zwischen der tangentengleichung und f(x) liegt
da muss ich dann die stammfunktion von f(x) bilden und dann integral berechnen.............
muss jetz leider schluss amchen für heute! Vielen dank für die hilfe! Gute Nacht !!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 So 03.04.2005 | | Autor: | Die_Miri |
Die Frage hieß ja: Das Scahubild K (also f(x)= 8(x-1)e^-x), die Tangente im Hochpunkt von K und die y-Achse schließen eine Fläche ein. Berechnen sie diesen Flächeninhalt.
Also habe ich erstmal die Tangentengleichung aufgestellt yt=1,08 und
diese dann mit f(x) gleichgesetzt. daraus ergab sich dann der schnittpunkt 1,9
und die nullstelle hab ich einfach herausbekommen indem ich die Funktion gleich mit dem satz des nullprodukts nach x aufgelöst habe. Daraus ergab sich das x=1 . Damit hab ich dann weiter gerechnet Zuerst einfach das obere Rechteckeck berechnet, dann des kleine Stück abgezogen (Integral + Stammfunktion und grenzen eingesetzt) und dann noch die fläche unterhalb der x-achse dazugezählt.......... kann ich des jetz so machen oder soll ich vom hochpunkt einfach ausgehen ???? Muss morgen referat halten bitte bitte antworten!! Danke
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Hi, Miri,
Du machst Dir die Sache viel zu schwer!
Bei einer Fläche, die zwischen 2 Funktionsgraphen (hier: Tangente im Hochpunkt und Graph der Funktion f) liegt, integriert man einfach die DIFFERENZ DER BEIDEN FUNKTIONSTERME und zwar: "obere Funktion minus untere".
Also: A = [mm] \integral_{0}^{2}{(t(x) - f(x))dx}.
[/mm]
Nun ist Deine Tangente ja waagrecht und Du hast dafür die Gleichung y=1,08 angegeben. Du solltest jedoch besser das exakte Ergebnis angeben und dies ist: [mm] y=8*e^{-2}.
[/mm]
Somit kriegst Du das Integral: [mm] \integral_{0}^{2}{(8*e^{-2} - 8*(x-1)*e^{-x})dx}.
[/mm]
Die Stammfunktion von f hatte ich Dir ja bereits früher hergeleitet; drum ergibt sich nun:
A = [mm] [8*e^{-2}*x [/mm] + [mm] 8x*e^{-x}]_{0}^{2}
[/mm]
= [mm] 8*e^{-2}*2 [/mm] + [mm] 8*2*e^{-2} [/mm] - 0
= [mm] 32*e^{-2} (\approx [/mm] 4,33)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 So 03.04.2005 | | Autor: | Die_Miri |
ist die zweite Ableitung von f´(x)= 8(2-x) e^-x
entweder 8 (-1+x) e^-x oder e^-x(-32+8x)
jeder kreigt was andres raus bitte um hilfe !!!
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Hi, miri,
> ist die zweite Ableitung von f´(x)= 8(2-x) e^-x
Meinst Du wirklich die zweite Ableitung von f'(x)?! Das wäre dann f'''(x)!
> entweder 8 (-1+x) e^-x oder e^-x(-32+8x)
> jeder kreigt was andres raus bitte um hilfe !!!
Also: Das erste kann's schon mal gar nicht sein, denn das ist die Ausgangsfunktion [mm] f(x)=8(x-1)e^{-x}
[/mm]
Aber auch der zweite Term ist falsch, und zwar unabhängig davon, ob Du nun f''(x) oder f'''(x) haben möchtest.
Richtig ist:
[mm] f''(x)=8*(x-3)*e^{-x} [/mm] = [mm] (8x-24)*e^{-x}
[/mm]
[mm] f'''(x)=8*(4-x)*e^{-x} [/mm] = [mm] (32-8x)*e^{-x}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Fr 01.04.2005 | | Autor: | Die_Miri |
Zu Aufgabenteil c)
Schnittstelle bei x= 1,9
Nullstelle bei x= 1
A1 = a * b
A1 = 1,9 * 1,08
A1 = 2,o52
A2 = [mm] /integral_{1}^{1,9} [/mm] {-8xe^-x}
(-8 * 1,9 *e^(-1,9)) - ( -8 *1* e^(-1))
= =0, 067
A3= [mm] /integral_{0}^{1} [/mm] {-8xe^-x}
A3 = 2,943
Ages = (A1 - A2) + A3 = 4,325 ???????????????
Bitte korrigieren! Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Fr 01.04.2005 | | Autor: | Die_Miri |
muss mich korrigieren Ages beträgt 3,648 ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Sa 02.04.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Schnittstelle bei x= 1,9
versteh ich nicht, Maximum=Hochpunkt ist doch bei x=2, Höhe richtig [mm] f(2)=8*e^{-2} \approx [/mm] 1,08
> Nullstelle bei x= 1
> A1 = a * b
> A1 = 1,9 * 1,08
> A1 = 2,o52
bei mir 2*f(2) [mm] \approx [/mm] 2,16
> A2 = [mm]/integral_{1}^{[red]2[/red]}[/mm] {(8(x-1)e^-x}
> (-8 * 2 *e^(2 )) - ( -8 *1* e^(-1))
neu berechnen
> = =0, 067
>
> A3= [mm]/integral_{0}^{1}[/mm] {-8xe^-x}
> A3 = 2,943
richtig der Betrag, das Integral ist negativ
>
> Ages = (A1 - A2) + A3 = 4,325 ???????????????
kleine Fehler,aber r wenn du die richtigen Werte einsetzest. Kontrolle [mm] A_{ges}=32*e^{-2}
[/mm]
einfacher: [mm] A_{ges}=2*f(2)- \integral_{0}^{2} {8(x-1)e^{-x} dx}
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Sa 02.04.2005 | | Autor: | Die_Miri |
aber bei der Flächenberechnung geh ich ja von der Funktion f(x) aus und net von f´(x) ?? Oder hab ich des jetz falsch interpretiert ??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Sa 02.04.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Miri
> aber bei der Flächenberechnung geh ich ja von der Funktion
> f(x) aus und net von f´(x) ?? Oder hab ich des jetz falsch
> interpretiert ??
Natürlich von der Funktion aber die ist doch f(x)=8(x-1)*e^-{x}, Nullstelle bei x=1, Hochpunkt bei x=2
[mm] \integral_{a}^{b} {8(x-1)*e^-{x}dx}=[-8xe^{-x}]_{a}^{b}
[/mm]
Oder hab ich deine Frage falsch verstanden? Ich weiss immer noch nicht was du mit Schnittstelle 1,9 gemeint hast. Schnittstelle mit der x Achse = Nullstelle bei x=1.
Schnittstelle mit der y-Achse x=0 f(0)=-8.
Frag noch mal nach, wenn es unklar ist!
Gruss leduart
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Produktregel![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das ist kein Beweis für eine Extremstelle.
