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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Andi235 |
Guten Abend!
Ich hab mal wieder keinen Plan ;)
Und zwar habe ich die Funktion: f(x)= [mm] e^{-x}*(1- e^{-x})
[/mm]
Wir sollen zu dieser Funktion die 3 Ableitungen bilden.
Ich bin mir aber schon bei der 1. Ableitung nicht sicher.
Hier mein Ansatz für die 1. Ableitung:
[mm] f(x)=(e^{-x})*(1-e^{-x})+(e^{-x})*(1*(1-e^{-x})^{-1})*(e^{-x})
[/mm]
Ich wäre echt nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob der Ansatz richtig ist und wenn ja, wie ich weiter vorgehen kann.
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
Dein Ansatz ist leider nicht richtig. Du unterschlägst z.B. die innere Ableitung von [mm] $e^{-x}$, [/mm] die wir ja gemäß der  Kettenregel berücksichtigen müssen.
Denn [mm] $e^{-x}$ [/mm] abgeleitet ergibt: [mm] $\left( \ e^{-x} \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^{-x}*(-1) [/mm] \ = \ [mm] -e^{-x}$
[/mm]
Bei Deiner gegebenen Funktion kann man sich aber die Ableitung deutlich vereinfachen, wenn Du die Klammer ausmultiplizierst:
$f(x) \ = \ [mm] e^{-x}*\left(1- e^{-x}\right) [/mm] \ = \ [mm] e^{-x} [/mm] - [mm] e^{-x}*e^{-x} [/mm] \ = \ [mm] e^{-x} [/mm] - [mm] e^{-x-x} [/mm] \ = \ [mm] e^{-x}-e^{-2x}$
[/mm]
Und damit lassen sich nun die Ableitungen sehr schnell und einfach bestimmen.
$f'(x) \ = \ [mm] e^{-x}*(-1) [/mm] - [mm] e^{-2x}*(-2) [/mm] \ = \ [mm] -e^{-x} [/mm] + [mm] 2*e^{-2x}$
[/mm]
Schaffst Du die anderen beiden Ableitungen nun selber?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 So 04.12.2005 | | Autor: | Andi235 |
Danke! Mir leuchtet diese Vorgehensweise ein. Aber man müsste ja auch das gleiche Ergebnis bekommen, wenn man den umständlichen Weg mit Produktregel und Kettenregel geht.
ich hab schon mal angefangen:
Einschub:
Kettenregel: f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)
Produktregel: f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)
f(x) = [mm] e^{-x} [/mm] * [mm] (1-e^{-x})
[/mm]
f'(x) = [mm] ((e^{-x}*(-1)) [/mm] * [mm] (1-e^{-x})) [/mm] + (( [mm] e^{-x}) [/mm] * [mm] (1*(1-e^{-x})^{-1}) [/mm] * [mm] ((-e^{-x}*(-1)))
[/mm]
Ich hoffe mal das ich so weit richtig liege. Sieht ja schon etwas wild aus.
jetzt stehe ich aber schon vor dem nächsten Problem. Wie z.B. löse ich [mm] (1*(1-e^{-x})^{-1}) [/mm] auf?
Danke schon mal für eure Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 So 04.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
Du machst die Ableitung von dem Faktor [mm] $\left(1-e^{-x}\right)$ [/mm] falsch:
[mm] $\left[ \ \left(1-e^{-x}\right) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \left(0-e^{-x}\right)*(-1) [/mm] \ = \ [mm] +e^{-x}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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