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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Fr 01.04.2011 | | Autor: | Chizzo |
Hallo,
möchte mal gerne nochmal genau wissen, was genau uns die einzelnen Ableitungen angeben. Habe die Funktion inkl. ihrer 3 Ableitungen gezeichnet und 0-Stellen berechnet allerdings komme ich nicht mehr drauf. Außer, dass die 1. Ableitung uns wohl die Steigung von f(x) angibt.
[mm] f(x)=0,5x^3-4x^2+8x
[/mm]
[mm] f'(x)=1,5x^2-8x+8
[/mm]
f''(x)=3x-8
f'''(x)=3
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Hallo Chizzo,
> Hallo,
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> möchte mal gerne nochmal genau wissen, was genau uns die
> einzelnen Ableitungen angeben. Habe die Funktion inkl.
> ihrer 3 Ableitungen gezeichnet und 0-Stellen berechnet
> allerdings komme ich nicht mehr drauf. Außer, dass die 1.
> Ableitung uns wohl die Steigung von f(x) angibt.
>
> [mm]f(x)=0,5x^3-4x^2+8x[/mm]
> [mm]f'(x)=1,5x^2-8x+8[/mm]
Die erste Ableitung gibt die Steigung in einem Punkt x an.
Im Rahmen einer Kurvendiskussion erhält man aus der Gleichung
[mm]f'\left(x\right)=0[/mm]
die Kandidaten für die Extrema, die mitteles
2. Ableitung auf die Art des Extemas zu prüfen sind.
> f''(x)=3x-8
Die Lösungen der Gleichung
[mm]f''\left(x\right)=0[/mm]
geben die Kandidaten für Wendepunkte an,
die mittels 3. Ableitung zu prüfen sind.
> f'''(x)=3
Siehe auch: Kurvendiskussion
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Fr 01.04.2011 | | Autor: | Chizzo |
Habe nochmal ne andere Funktion ausprobiert...
[mm] f(x)=x^3-6x^2+9x
[/mm]
HP ist bei (1/4) und TP bei (3/0). Hoch- und Tiefpunkte krieg ich ja raus indem ich die Nullstellen von f'(x) berechne und dann wie in diesem Beispiel bei x=1 schaue wie ist das Steigungsverhalten des Graphen bei x=0 und x=2 und dann je nach Steigung -/+ oder +/- sagen kann ob es sich um einen HP oder TP handelt... sehe ich das richtig?
Nun habe ich aber Probleme mit dem Verständnis des Wendepunktes..
in f''(x)= 6x-12 habe ich die Nullstelle x=2. Setze ich nun die 2 in meine Ursprungsfunktion ein erhalte ich den Punkt (2/2).
Setze ich nun einen Punkt links vom möglichen WP ein, sprich f''(1) erhalte ich als Ergebnis -6. Mache ich das selbe mit f''(3) erhalte ich 6. Das es sich um einen R/L Wendepunkt handelt ist mir klar.
Aber:
Was genau geben die -6 und die 6 an?
Und die 3. Ableitung wäre dann f'''(x)=6... wie hilft mir diese bei der Untersuchung des Wendepunktes weiter? Ich vertehs nicht...
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> Habe nochmal ne andere Funktion ausprobiert...
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> [mm]f(x)=x^3-6x^2+9x[/mm]
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> HP ist bei (1/4) und TP bei (3/0). Hoch- und Tiefpunkte
> krieg ich ja raus indem ich die Nullstellen von f'(x)
> berechne und dann wie in diesem Beispiel bei x=1 schaue wie
> ist das Steigungsverhalten des Graphen bei x=0 und x=2 und
> dann je nach Steigung -/+ oder +/- sagen kann ob es sich um
> einen HP oder TP handelt... sehe ich das richtig?
>
> Nun habe ich aber Probleme mit dem Verständnis des
> Wendepunktes..
>
> in f''(x)= 6x-12 habe ich die Nullstelle x=2. Setze ich nun
> die 2 in meine Ursprungsfunktion ein erhalte ich den Punkt
> (2/2).
>
> Setze ich nun einen Punkt links vom möglichen WP ein,
> sprich f''(1) erhalte ich als Ergebnis -6. Mache ich das
> selbe mit f''(3) erhalte ich 6. Das es sich um einen R/L
> Wendepunkt handelt ist mir klar.
>
> Aber:
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> Was genau geben die -6 und die 6 an?
>
> Und die 3. Ableitung wäre dann f'''(x)=6... wie hilft mir
> diese bei der Untersuchung des Wendepunktes weiter? Ich
> vertehs nicht...
Hallo Chizzo,
die konkrete geometrische Bedeutung der ersten Ableitung
ist leicht zu erfassen: Tangentensteigung des Funktionsgraphen
an der betrachteten Stelle.
Ebenso gibt [mm] f''(x_0) [/mm] die Steigung des Graphen von f' an der
Stelle [mm] x_0 [/mm] an. Die Bedeutung davon in Bezug auf den Original-
graphen (der Funktion f persönlich) ist jedoch komplizierter.
Genaueres darüber kannst du da nachlesen: ![[]](/images/popup.gif) Krümmung
Für eine "gewöhnliche" Kurvenuntersuchung ist meist nur
wichtig zu wissen, dass das Vorzeichen der zweiten Ableitung
das Vorzeichen der Krümmung bestimmt [mm] (f''(x_0)>0 [/mm] sagt z.B.,
dass der Graph von f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] linksgekrümmt ist).
Bei f''' ist alles noch verwickelter. Man kann aber sagen:
Falls an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] gilt, dass [mm] f''(x_0)=0 [/mm] und [mm] f'''(x_0)\not=0 [/mm] ,
dann hat der Graph von f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] mit Sicherheit
einen Wendepunkt. Das Vorzeichen von [mm] f'''(x_0) [/mm] entscheidet
dann über die Art des Wendepunktes:
[mm] f''(x_0)=0 [/mm] und [mm] f'''(x_0)>0 [/mm] ----> [mm] P(x_0|f(x_0)) [/mm] ist Wendepunkt von Rechtskurve zu Linkskurve
(wie bei einem Fragezeichen)
[mm] f''(x_0)=0 [/mm] und [mm] f'''(x_0)<0 [/mm] ----> [mm] P(x_0|f(x_0)) [/mm] ist Wendepunkt von Linkskurve zu Rechtskurve
(wie bei einem "S")
LG Al-Chw.
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