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| Aufgabe | Bestimmen Sie die 1.Ableitung der folgenden Funktionen und vereinfachen Sie diese.
a) f(x) = cos²x
b) f(x) = [mm] \bruch{x+1}{e^{x}}
[/mm]
c) f(x) = [mm] ln(\wurzel{x²+1})
[/mm]
d) f(x) = [mm] \bruch{cosx}{sinx} [/mm] |
Hey
Ich soll die angegeben Funktionen als Übung zu einer Klausur ableiten. Allerdings tue ich mich damit etwas schwer.
a) Hier würde ich cos²(x) als -2sin(x) ableiten, da meines Wissens nach die Ableitung von cos = -sin ist. Ich wollte das allerdings mit dem Rechner von Wolfram Alpha überprüfen, der mir was anderes ausspuckt: -2sin(x) * cos(x).
Ich bezweifle, dass der Rechner dort einen Fehler gemacht hat, verstehe aber auch nicht, wie man dann auf dieses Ergebnis kommt.
b) Hier würde ich die Quotientenregel anwenden, also g/h = [mm] \bruch{g' * h - g * h'}{h²} [/mm] .
Dann käme bei mir heraus [mm] \bruch{e^{x} - e^{x}(x+1)}{e^{2}}. [/mm] Der Rechner gibt mir hierfür aber wieder ein anderes Ergebnis, nämlich nur den Zähler.
c) Die Ableitung von ln(f) ist ja [mm] \bruch{f'}{f}. [/mm] Abgeleitet hatte ich dann mit der Kettenregel, sodass ich herausbekam: [mm] \bruch{0,5 * 2x * -\wurzel{x²+1}}{\wurzel{x²+1}}. [/mm] Ich habe den Part mit den Wurzeln weggekürzt und dann alles zusammengesetzt, sodass ich -x erhalte. Wolfram Alpha sagt als Ergebnis allerdings [mm] \bruch{x}{x²+1}
[/mm]
d) Für diese Aufgabe haben wir noch erhalten, dass cosx durch sin x = cot x ist. Dann habe ich nach der Ableitung von cot x gesucht, welche -csc²x lautet. Oder auch [mm] \bruch{1}{-sin²x}. [/mm] Würde ich nun aber [mm] \bruch{cosx}{sinx} [/mm] mit der Quotientenregel ableiten, bekäme -1 - cos²x heraus.
Ich hoffe also jemand von euch kann mir aufzeigen wo meine Fehler liegen, damit ich das richtige Ergebnis erhalte. Vielen Dank dafür.
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> Bestimmen Sie die 1.Ableitung der folgenden Funktionen und
> vereinfachen Sie diese.
> a) f(x) = cos²x
> b) f(x) = [mm]\bruch{x+1}{e^{x}}[/mm]
> c) f(x) = [mm]ln(\wurzel{x²+1})[/mm]
> d) f(x) = [mm]\bruch{cosx}{sinx}[/mm]
>
> Hey
hallo, zuersteinmal solltest du alle potenzen so schreiben: x^2, denn x² kann latex nicht interpretieren und anzeigen
> Ich soll die angegeben Funktionen als Übung zu einer
> Klausur ableiten. Allerdings tue ich mich damit etwas
> schwer.
>
> a) Hier würde ich cos²(x) als -2sin(x) ableiten, da
> meines Wissens nach die Ableitung von cos = -sin ist. Ich
> wollte das allerdings mit dem Rechner von Wolfram Alpha
> überprüfen, der mir was anderes ausspuckt: -2sin(x) *
> cos(x).
da hat der rechner wohl recht
[mm] f(x)=cos^2(x)=g(x)^2
[/mm]
mit g(x)=cos(x)
die kettenregel sagt dann:
f'(x)=2*g(x)*g'(x)
und das ist?
> Ich bezweifle, dass der Rechner dort einen Fehler gemacht
> hat, verstehe aber auch nicht, wie man dann auf dieses
> Ergebnis kommt.
>
> b) Hier würde ich die Quotientenregel anwenden, also g/h =
> [mm]\bruch{g' * h - g * h'}{h²}[/mm] .
> Dann käme bei mir heraus [mm]\bruch{e^{x} - e^{x}(x+1)}{e^{2}}.[/mm]
im nenner muss es [mm] e^{2x} [/mm] heissen
im zähler bleibt [mm] -x*e^x [/mm] stehen, nun mit dem nenner kürzen
> Der Rechner gibt mir hierfür aber wieder ein anderes
> Ergebnis, nämlich nur den Zähler.
>
> c) Die Ableitung von ln(f) ist ja [mm]\bruch{f'}{f}.[/mm] Abgeleitet
> hatte ich dann mit der Kettenregel, sodass ich herausbekam:
ich krieg hier (schritt für schritt die kettenregel)
[mm] \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}*\frac{1}{2*\sqrt{x^2+1}}*2x
[/mm]
und das ergibt die rechner lösung. du hast anscheinend mit der quotientenregel hantiert oder wo soll das minus herkommen?
> [mm]\bruch{0,5 * 2x * -\wurzel{x²+1}}{\wurzel{x²+1}}.[/mm] Ich
> habe den Part mit den Wurzeln weggekürzt und dann alles
> zusammengesetzt, sodass ich -x erhalte. Wolfram Alpha sagt
> als Ergebnis allerdings [mm]\bruch{x}{x²+1}[/mm]
>
> d) Für diese Aufgabe haben wir noch erhalten, dass cosx
> durch sin x = cot x ist. Dann habe ich nach der Ableitung
> von cot x gesucht, welche -csc²x lautet. Oder auch
> [mm]\bruch{1}{-sin²x}.[/mm] Würde ich nun aber [mm]\bruch{cosx}{sinx}[/mm]
> mit der Quotientenregel ableiten, bekäme -1 - cos²x
die -1 ist richtig, bei dem [mm] cos^2 [/mm] muss im nenner noch ein [mm] sin^2 [/mm] stehen
und das kann man umformen zu
[mm] \[-\frac{1}{{\mathrm{sin}\left( x\right) }^{2}}\]
[/mm]
> heraus.
>
> Ich hoffe also jemand von euch kann mir aufzeigen wo meine
> Fehler liegen, damit ich das richtige Ergebnis erhalte.
> Vielen Dank dafür.
gruß tee
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