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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Di 14.12.2004 | | Autor: | Lucie |
Uiii, also das wird viel Schreibarbeit mit dem Formelsystem:
f(x)= [mm] \bruch{x³}{1+x³}
[/mm]
Und nun folgen meine 2 Ableitungen mit allen Zwischenschritten:
f'(x)= [mm] \bruch{3x²*(1+x³)-(x³*3x²)}{(1+x³)²}
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{3x²+3x^5-3x^5}{(1+x³)²}
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{3x²}{(1+x³)²}
[/mm]
f''(x)= [mm] \bruch{6x*(1+x³)²-3x²*2(1+x³)*3x²}{(1+x³)^4}
[/mm]
f''(x)= [mm] \bruch{6x+6x^4-3x²*6x²}{(1+x³)³}
[/mm]
f''(x)= [mm] \bruch{6x+6x^4-18x²}{(1+x³)³}
[/mm]
So das wären meine Lösungen, bin aber ziemlich sicher, dass da was nicht stimmt, ich weiß auch nicht sicher ob ich das mit innerer und äußerer Ableitung bei der 2. Ableitung so richtig gemacht hab.
Wäre sehr dankbar für Hilfe!
Schönen Abend, Lucie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Di 14.12.2004 | | Autor: | Fabian |
Hallo Lucie
> f(x)= [mm]\bruch{x³}{1+x³}
[/mm]
>
> Und nun folgen meine 2 Ableitungen mit allen
> Zwischenschritten:
>
> f'(x)= [mm]\bruch{3x²*(1+x³)-(x³*3x²)}{(1+x³)²}
[/mm]
> f'(x)= [mm]\bruch{3x²+3x^5-3x^5}{(1+x³)²}
[/mm]
> f'(x)= [mm]\bruch{3x²}{(1+x³)²}
[/mm]
>
Bis hier hin ist alles richtig! Gut!
> f''(x)= [mm]\bruch{6x*(1+x³)²-3x²*2(1+x³)*3x²}{(1+x³)^4}[/mm]
Du mußt hier beachten , dass [mm] (1+x^{3})^{2} [/mm] eine binomische Formel ist. Wenn du diese korrekt ausmiltiplizierst , dann erhälst du am Ende
f''(x) = [mm] \bruch{6x+12x^{4}+6x^{7}-18x^{4}-18x^{7}}{(1+x^{3})^{4}}
[/mm]
Den Rest wirst du bestimmt selber herausbekommen!
Gruß Fabian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Di 14.12.2004 | | Autor: | informix |
Hallo Lucie und Fabian,
> > f(x)= [mm]\bruch{x³}{1+x³}[/mm]
> >
> > Und nun folgen meine 2 Ableitungen mit allen
> > Zwischenschritten:
> >
> > f'(x)= [mm]\bruch{3x²*(1+x³)-(x³*3x²)}{(1+x³)²}
[/mm]
> > f'(x)= [mm]\bruch{3x²+3x^5-3x^5}{(1+x³)²}
[/mm]
> > f'(x)= [mm]\bruch{3x²}{(1+x³)²}
[/mm]
> >
>
> Bis hier hin ist alles richtig! Gut!
>
> > f''(x)= [mm]\bruch{6x*(1+x³)²-3x²*2(1+x³)*3x²}{(1+x³)^4}[/mm]
>
> Du mußt hier beachten , dass [mm](1+x^{3})^{2}[/mm] eine
> binomische Formel ist. Wenn du diese korrekt
> ausmiltiplizierst , dann erhälst du am Ende
>
> f''(x) =
> [mm]\bruch{6x+12x^{4}+6x^{7}-18x^{4}-18x^{7}}{(1+x^{3})^{4}}[/mm]
Das Ausmultiplizieren ist hier überhaupt nicht geschickt - eher im Gegenteil!
Man kann nämlich (1+x³) im Zähler ausklammern und gegen eine Klammer im Nenner kürzen:
f''(x)= [mm] \bruch{(1+x³)(6x*(1+x³)-3x²*2*3x²)}{(1+x³)^4}[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f''(x)= [mm] \bruch{6x*(1+x³)-3x²*2*3x²}{(1+x³)^3}[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f''(x) = [mm] $\bruch{6x + 6x^4 - 18 x^4}{(1+x³)^3}$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f''(x) = [mm] $\bruch{6x - 12 x^4}{(1+x³)^3}$ [/mm] = [mm] $\bruch{6x(1-2x^3)}{(1+x³)^3}$
[/mm]
na, ist das nicht viel schöner als der Term oben? 
und das klappt stets bei der 2. Ableitung einer gebrochen-rationalen Funktion! (merken!)
So wird der Term im Zähler, den man z.B. Null setzen muss, um Wendestellen zu berechnen, etwas einfacher (eine Potenz kleiner).
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In deiner Lösung war eigentlich so gut wie alles richtig, nur in der letzten Zeile deiner 2. Ableitung hast du dich wohl vertippt: das [mm]18x^2[/mm] sollte ein [mm]18x^4[/mm] sein.
Und was persilous wahrscheinlich übersehen hat: du hast bei der 2. Ableitung zuerst den Faktor [mm](1+x^3)[/mm] ausgeklammert, und dann rausgekürzt. Und das ist hier auch der optimale Weg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Di 14.12.2004 | | Autor: | e.kandrai |
Tja, da kam mir informix wohl um 6 Minuten zuvor, während ich noch geschrieben habe...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Fabian |
Hallo Lucie
da hab ich wohl nicht aufgepasst. Tut mir leid wenn ich dich auf einen falschen Weg gebracht habe!
Sorry!!!
Gruß Fabian
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