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| Aufgabe | Bilde f':
c) $ [mm] f(x)=(\sin(2x))^3 [/mm] $
d) $ [mm] f(x)=g(2x^2) [/mm] $
e) $ [mm] f(x)=\bruch{2^x}{\wurzel{x}} [/mm] $
f) $ [mm] f(x)=e^{2lnx}+ln(e^{2x}) [/mm] $ |
Hallo,
ich schreibe am Dienstag leider mal wieder eine Klausur und bin am üben. Mit den Ableitungen habe ich angefangen, aber leider ist der größte Teil noch falsch. Ich habe ne Probeversion von Derive und kann so meine Ergebnisse überprüfen, aber leider werden nicht die Schritte angezeigt. Daraum schreibe ich mal ein paar Aufgaben hier rein, wo ich Probleme hatte und hoffe, dass mir jemand helfen wird.
Zu c)
$ [mm] f(x)=(\sin(2x))^3 [/mm] $
Mit der Kettenregel (innere mal äußere Funktion) und die Ableitung von sin ist doch cos, oder?
$ [mm] f'(x)=\cos(2x)\cdot{}3\cdot{}(\sin(2x))^2 [/mm] $
Ach, oder ist das hier eine dreifache Verkettung?
Also:
$ [mm] f'(x)=2*\cos(2x)*3*(\sin(2x))^2 [/mm] $
Aber bei Derive kommt das raus: [mm] f'(x)=3*(\sin(2x))*(\sin(4x))
[/mm]
Zu d)
$ [mm] f(x)=g(2x^2) [/mm] $
Auch Kettenregel:
$ [mm] f'(x)=4x*g'(2x^2) [/mm] $
Bei Derive kommt das raus: $ f'(x)=4*g*x $
Zu e)
e) $ [mm] f(x)=\bruch{2^x}{\wurzel{x}} [/mm] $
Quotienten- und Kettenregel:
$ [mm] f'(x)=\bruch{(x\cdot{}2^{x-1}\cdot{}\wurzel{x})-(2^x\cdot{}1\cdot{}\bruch{1}{2\wurzel{x}})}{(\wurzel{x})^2} [/mm] $
$ [mm] f'(x)=\bruch{(x\cdot{}2^{x-1}\cdot{}\wurzel{x})-\bruch{2^x}{2\wurzel{x}}}{x} [/mm] $
Ist das unter dem Bruchstrich eigentlich möglich? Also Wenn ich anstatt der Wurzel hoch (1/2) schreibe und das dann mit der äußeren Potenz multipliziere(ist das richtig?) kommt ja 1 raus, also nur x. Bestimmt mache ich da einen Fehler, so einfach kann es ja gar nicht sein.
Zu f)
f) $ [mm] f(x)=e^{2lnx}+ln(e^{2x}) [/mm] $
$ [mm] f'(x)=2lnx\cdot{}e^{2lnx-1}+2 [/mm] $
Weil ja ln(e) sich auflöst bleibt nur noch 2x und davon ist die Ableitung 2.
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir meine Fehler aufzeigen könntet.
Vielen Dank schon jetzt!
LG TryingHard
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Hi!
Also nochmal vielen Dank für die schnelle Korrektur. Ich habe jetzt nochmal mit deinen Anmerkungen weitergerechnet. Bei f) kommt auch ein sehr schönes Ergebnis, was du mir aber ja auch fast schon selbst gegeben hast, raus, aber bei e) bin ich mir nicht sicher, bzw. könnte man sicherlich noch weiter zusammenfassen...
> > Zu e)
> >
> > e) [mm]f(x)=\bruch{2^x}{\wurzel{x}}[/mm]
> > Quotienten- und Kettenregel:
>
> Bedenke, dass gilt: [mm]\left( \ a^x \ \right)' \ = \ \ln(a)*a^x[/mm]
>
>
> > Ist das unter dem Bruchstrich eigentlich möglich? Also Wenn
> > ich anstatt der Wurzel hoch (1/2) schreibe und das dann mit
> > der äußeren Potenz multipliziere(ist das richtig?) kommt ja
> > 1 raus, also nur x. Bestimmt mache ich da einen Fehler, so
> > einfach kann es ja gar nicht sein.
>
> Ist es aber ...
Was meinst du mit aber?
[mm]f(x)=\bruch{2^x}{\wurzel{x}}[/mm]
$ [mm] f'(x)=\bruch{(ln(2)\cdot{}2^x\cdot{}\wurzel{x})-(2^x\cdot{}\bruch{1}{2\wurzel{x}})}{(\wurzel{x})^2} [/mm] $
[mm]f'(x)=\bruch{1,3863^x*\wurzel{x}-\bruch{2^x}{2\wurzel{x}}}{x}[/mm]
$ [mm] f'(x)=(1,3863^x\cdot{}\wurzel{x}-\bruch{2^x}{2\wurzel{x}})\cdot{}\bruch{1}{x} [/mm] $
Falls das stimmt, wie kann man das noch weiter zusammenfassen, damit man weiterrechnen könnte?
>
> > Zu f)
> >
> > f) [mm]f(x)=e^{2lnx}+ln(e^{2x})[/mm]
> > [mm]f'(x)=2lnx\cdot{}e^{2lnx-1}+2[/mm]
> >
> > Weil ja ln(e) sich auflöst bleibt nur noch 2x und davon ist
> die Ableitung 2.
>
> Im Ansatz richtig erkannt. Aber die e-Funktion wird nicht
> in Anlehnung an die  Potenzregel abgeleitet.
>
> Es gilt: [mm]\left( \ e^x \ \right)' \ = \ e^x[/mm]
>
>
> Forme hier zunächst um, bevor Du ableitest ... dann wird
> das unendlich einfacher!
>
> [mm]e^{2*\ln(x)} \ = \ \left[ \ e^{\ln(x)} \ \right]^2 \ = \ ...[/mm]
>
> [mm]\ln\left( \ e^{2x} \ \right) \ =\ 2x*\ln(e) \ = \ ...[/mm]
[mm]f(x)=e^{2lnx}+ln(e^{2x})[/mm]
$ [mm] \gdw f(x)=(e^{ln(x)})^2+2x\cdot{}ln(e) [/mm] $
[mm]\gdw f(x)=x^2+2x[/mm]
[mm]f'(x)=2x+2[/mm]
[mm]f'(x)=2*(x+1)[/mm]
Das sollte richtig sein, oder? Und du hattest recht, es ist unendlich einfacher gewesen.
Freue mich, wenn das nochmal kurz durchgeschaut wird!
LG TryingHard
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Sa 02.12.2006 | | Autor: | miomi |
a) y = (sin [mm] (3x))^{3}
[/mm]
mein Ergebnis:
y = 9 [mm] (sin(3x))^{2} [/mm] cos(3x)
Gruß Miomi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo TryingHard!
Welche Variante von Aufgeb c.) ist denn nun richtig? [mm] $\sin^3(\red{2}*x)$ [/mm] oder [mm] $\sin^3(\red{3}*x)$ [/mm] ?
Meine Korrektur bezog sich auf die $2_$er-Variante ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Sa 02.12.2006 | | Autor: | TryingHard |
Hi, danke erstmal für die schnelle Korrektur. Die schaue ich mir jetzt in Ruhe durch.
Bei Aufgabe c) habe ich mich tatsächlich vertippt.
Die variante $ [mm] f(x)=(\sin(2x))^3 [/mm] $ ist die Richtige. Das [mm]\sin^3(\red{2}*x)[/mm] ist das selbe, oder?
Ich verbessere es eben auch schnell in meiner Frage!
LG TryingHard
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Ganz genau!
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