matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Differentiation > Ableitung von x hoch x
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Differentiation" - Ableitung von x hoch x
Ableitung von x hoch x < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ableitung von x hoch x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:06 Sa 03.02.2007
Autor: belimo

Aufgabe
Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktion:

[mm] f(x)=x^{x} [/mm]

Hallo Leute

Ich denke, das ist irgendwie mit den natürlichen Log zu lösen, und (mit der MBKettenregel??)

Leider bin ich mit Logarithmen sehr, sehr schlecht, ich wäre froh, wenn mir jemand diese Aufgabe mit möglichst vielen Wörtern und möglichst wenig mathematischen Zeichen erklären könnte ;-)

Danke für eure Hilfe!

Gruss belimo
        
Bezug
Ableitung von x hoch x: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 10:13 Sa 03.02.2007
Autor: Informacao

Hi,

wir machen gerade auch Ableitungen. Und ich habe das so gelernt, dass der Exponent nach vorne kommt, und oben weniger eins stehen bleibt.

Also f(x)=x³       f'(x)=3x²

Also müsste [mm] f(x)=x^{x} [/mm] doch eigentlich [mm] f'(x)=x*x^{x-1} [/mm] sein, oder?

Bin mir nicht ganz sicher, aber stur abgeleitet, müsste das so sein.

Viele Grüße
Informacao
Bezug
                
Bezug
Ableitung von x hoch x: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 10:18 Sa 03.02.2007
Autor: Stefan-auchLotti


> Hi,
>  
> wir machen gerade auch Ableitungen. Und ich habe das so
> gelernt, dass der Exponent nach vorne kommt, und oben
> weniger eins stehen bleibt.
>
> Also f(x)=x³       f'(x)=3x²
>  
> Also müsste [mm]f(x)=x^{x}[/mm] doch eigentlich [mm]f'(x)=x*x^{x-1}[/mm]
> sein, oder?
>
> Bin mir nicht ganz sicher, aber stur abgeleitet, müsste das
> so sein.
>  
> Viele Grüße
>  Informacao

[mm] $\bffamily \text{Hi,}$ [/mm]

[mm] $\bffamily \text{Das ist leider absolut falsch so -- die Regel gilt nur, wenn der Exponent aus }\mathbbm{R}\text{ kommt!}$ [/mm]

[mm] $\bffamily \text{Innere Ableitung mal äußere Ableitung ergibt: }f'\left(x\right)=\ln x*x^x+1*x^x=x^x*\left(\ln x+1\right)\text{.}$ [/mm]

[mm] $\bffamily \text{Grüße, Stefan.}$ [/mm]
Bezug
                        
Bezug
Ableitung von x hoch x: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 10:28 Sa 03.02.2007
Autor: belimo

Genau, das stimmt nämlich auch mit der Lösung überein ;-)
Bezug
                
Bezug
Ableitung von x hoch x: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:22 Sa 03.02.2007
Autor: belimo

Das dachte ich anfangs auch, aber die Lösung des Dozenten stimmt leider nicht damit überein ;-)
Bezug
                        
Bezug
Ableitung von x hoch x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:30 Sa 03.02.2007
Autor: belimo

Aber eine Frage noch: So wie ich das verstanden habe, ist ja jetzt die ableitung von hoch x der ln(x). Warum ist das so? Wie gesagt mit Logarithmen bin ich auf der Stufe Kindergarten ;-)
Bezug
                                
Bezug
Ableitung von x hoch x: Umformen ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 Sa 03.02.2007
Autor: Loddar

Hallo belimo!


> So wie ich das verstanden habe, ist ja jetzt die ableitung von
> hoch x der ln(x).

[notok] Das stimmt so nicht.

Für die e-Funktion [mm] $e^x$ [/mm] gilt: [mm] $\left( \ e^x \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^x$ [/mm] .

Daraus ergibt sich auch die Formel für die allgemeine Exponentialfunktion [mm] $a^x$ [/mm] :

[mm] $\left( \ a^x \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \ln(a)*a^x$ [/mm]



Deine spezielle Funktion $f(x) \ = \ [mm] x^x$ [/mm] lässt sich zunächst so nicht nach bekannten MBAbleitungsregeln ableiten. Daher formen wir hier zunächst um, indem wir die Eigenschaft des [mm] $\ln(x)$ [/mm] als  Umkehrfunktion der e-Funktion verwenden:

$f(x) \ = \ [mm] \red{x}^x [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \red{e^{\ln(x)}} \ \right]^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(x)}$ [/mm]


Nun verwenden wir die o.g. Ableitungsregel für die e-Funktion in Verbnindung mit der MBKettenregel und MBProduktregel für die innere Ableitung.


Gruß
Loddar

Bezug
                                        
Bezug
Ableitung von x hoch x: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:57 Sa 03.02.2007
Autor: riwe

besonders einfach geht das so:
[mm]y=x^{x}\to lny=x\cdot lnx[/mm]
und jetzt "implizit" differenzieren:

[mm] \frac{1}{y}y^\prime=lnx+1 [/mm]
und jetzt y nach rechts bringen und wieder das ursprüngliche einsetzen
[mm] y^\prime=(lnx+1)\cdot x^{x} [/mm]
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]