Ableitung von unstet. Funkt. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 So 08.08.2010 | | Autor: | jooo |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} e^x & \mbox{für } x \ge0 \\ {e^x}-2 & \mbox{für } x<0 \ \end{cases}
[/mm]
bestimmen sie f'(x) |
Die Funktion ist ja nur teilweise stetig in [mm] [-\infty,0) [/mm] und [mm] [0,\infty]
[/mm]
Ich bin der Meinung gelernt zu haben das Unstetige funktionen nicht ableitbar sind !Sommit ist doch die Funktion eigentlich nicht ableitbar!oder doch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 So 08.08.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Deine Funktion ist nur an der "kritischen Übergangsstelle" x=0 nicht stetig, an allen anderen Stellen ist sie stetig, und sogar differenzierbar.
Du musst alo "nur" die Stelle x=0 gesondert untersuchen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 08.08.2010 | | Autor: | jooo |
Also einfach so ableiten?
[mm] f'(x)=\begin{cases} e^x & \mbox{für } x \ge0 \\ {e^x} & \mbox{für } x<0 \ \end{cases} [/mm]
[mm] \forall x\in D=\IR
[/mm]
Gruß Jooo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 So 08.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also einfach so ableiten?
>
> [mm]f'(x)=\begin{cases} e^x & \mbox{für } x \red{\ge}0 \\ {e^x} & \mbox{für } x<0 \ \end{cases}[/mm]
>
> [mm]\forall x\in D=\IR[/mm]
nein, aber fast: Es war
[mm] $$f(x)=\begin{cases} e^x & \mbox{für } x \ge0 \\ {e^x}-2 & \mbox{für } x<0 \ \end{cases}\,.$$
[/mm]
Damit ist [mm] $f'(x)=e^x$ [/mm] für alle $x [mm] \not=0\,,$ [/mm] denn beachte:
[mm] $f\,$ [/mm] hat an [mm] $x_0=0$ [/mm] eine Unstetigkeitsstelle und ist damit an dieser Stelle nicht diff'bar. Für [mm] $x>0\,$ [/mm] ist [mm] $f'(x)=f(x)=e^x\,,$ [/mm] und für $x > 0$ ist [mm] $f'(x)=(e^x-2)_=(e^x)'-(2)'=e^x-0=0\,.$
[/mm]
(Das letztstehende hat sich durch Deine Revision erledigt.)
Anders gesagt:
Das rote [mm] $\red{\ge}$ [/mm] ist durch ein [mm] $\red{>}$ [/mm] zu ersetzen.
P.S.:
Ich würde einen Satz dazuschreiben, dass [mm] $f\,$ [/mm] unstetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist und daher nicht (auf dem ganzen Definitionsbereich) differenzierbar ist, da [mm] $f\,$ [/mm] an [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht diff'bar sein kann. Dann aber schreiben:
Betrachtet man anstatt [mm] $f\,$ [/mm] die eingeschränkte Funktion [mm] $f_{|\IR \setminus\{0\}}\,,$ [/mm] und nennt diese wieder [mm] $f\,,$ [/mm] so gilt
[mm] $$f'(x)=e^x\;\;\;\text{ für alle (rellen) }x\;\big( \not=0\big)\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 So 08.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]f(x)=\begin{cases} e^x & \mbox{für } x \ge0 \\ {e^x}-2 & \mbox{für } x<0 \ \end{cases}[/mm]
>
> bestimmen sie f'(x)
> Die Funktion ist ja nur teilweise stetig in [mm][-\infty,0)[/mm]
> und [mm][0,\infty][/mm]
Du meintest sichder [mm] $\red{(}-\infty,0)$ [/mm] und [mm] $[0,\infty\red{)}$!
[/mm]
Beachte: [mm] $\pm \infty \notin \IR$!
[/mm]
Besten Gruß,
Marcel
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