Ableitung von sin(kx) < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Do 01.05.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ich habe folgendes Problem und zwar ist mri bewusst wie sin(x) zu cos(x) abgeleitet wird, also die herleitung. ABer ich weiß nicht wie das bei sin(kx) mit der h-methode funktioniert.
Man kann es ja nicht ganz genauso machen wie bei der normalen herleitung oder?? Ich komme nach dem einsetzen der Additionstheoreme nicht wirklich weiter ich habe dann
[mm] \bruch{sin (kx)*cos(kh)+ sin (kh)*cos(kx)-sin(kx)}{kh}
[/mm]
und dann muss k ja irgendwie ausgeklammert werden kann mir da jemand helfen?ß
|
|
| |
|
Ich glaube nicht, dass es sinnvoll ist dies mit dem Differentialquotienten zu lösen. Benutze die Kettenregel für Ableitungen:
[f( g(x) )]' = f'( g(x) ) * g'(x)
Konkret: Du hast bei deiner Funktion eine "Verkettung" von Funktionen vorliegen. Zunächst wird der eingegebene Wert mit k multipliziert ("innere Funktion" g(x)) und danach wird von dem Ergebnis noch der Sinus bestimmt ("äußere Funktion" f(x)).
D.h. du hast vorliegen:
[mm]g(x) = k*x[/mm]
[mm]f(x) = sin(x)[/mm].
Deine Funktion ist praktisch f(g(x)) = sin(k*x).
Nun musst du das in die Kettenregel einsetzen:
[mm][sin(k*x)]' = \underbrace{cos( k*x )}_{\mbox{Ableitung von f(x) mit g(x) als Argument}} * \underbrace{k}_{g'(x)} = k*cos(k*x)[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Do 01.05.2008 | | Autor: | noobo2 |
hi danke, aber die kettenregel impliziert ja auch eine regel udn ich wollte es halt normal herleiten so wie man das halt mit der h-methode bei ganzrationalen funktionen macht und später benutzt man ja auch nur noch [mm] x^n= [/mm] n*x^(n-1)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Do 01.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Fehler ist , dass du im Nenner k*h hast, da steht aber nur h, wenn du dann wie bei sinx vorgehst kommst du wegen [mm] sinkh\approx [/mm] kh auf k*coskx.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Do 01.05.2008 | | Autor: | noobo2 |
ja aber wie denn genau wenn ich jetzt mal meine zeile nach einsetzten der summensätze nehme also:
[mm] \bruch{sin(kx)*cos(hk)+cos(kx)*sin(hk)-sin(kx)}{h} [/mm]
wie rechne ich von da aus denn weiter?
soll ich, wie bei der normalen herleitung, sin(kx) auskalmmern?
|
|
|
| |
|
Du setzt nun t = hk. Mit h geht auch t gegen 0 und umgekehrt, nur mit einem Faktor k dazuwischen, aber (s.u.) das ist unerheblich. Nun ergibt sich
[mm] \bruch{sin(kx)*cos(hk)+cos(kx)*sin(hk)-sin(kx)}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{sin(kx)*cos(t)+cos(kx)*sin(t)-sin(kx)}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{sin(kx)*cos(t)+cos(kx)*sin(t)-sin(kx)}{t/k}(damit [/mm] h verschwindet)
[mm] =k*\bruch{sin(kx)*cos(t)+cos(kx)*sin(t)-sin(kx)}{t}
[/mm]
[mm] =k*(sin(kx)*\bruch{cos(t)-1}{t}+cos(kx)*\bruch{sin(t)}{t})
[/mm]
Wenn nun t nach 0 geht, geht [mm] \bruch{cos(t)-1}{t} [/mm] gegen 0 und [mm] \bruch{sin(t)}{t} [/mm] gegen 1, aber nur, weil im sin und im Nenner der selbe Ausdruck t (also ohne das k) steht. Damit ergibt sich für die 1. Ableitung dann k*cos(kx).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Do 01.05.2008 | | Autor: | noobo2 |
hey,
danke für die Mühe aber ich kann leider den letzten Schritt nicht nachvollziehen. also auf [mm] \bruch{sin(h)}{h} [/mm] oder halt (t) komm ich auch in der normalen herleitung wie schlussfolge ich dann nun, dass das t noch mal als faktor davor zu schreiben ist??
|
|
|
| |
|
Du meinst wahrscheinlich:... dass k nochmal davor zu schreiben ist, oder?
In der normalen Herleitung (also sin ohne k, nur mit x und h) sieht alles genau so wie in meiner Herleitung aus, nur mit dem Unterschied, dass das t ein h bleibt und dass k als Faktor 1 gar nicht auftaucht. (Damit werden dann einige Schritte in meiner Herleitung überflüssig).
Wie nun LEduard schreibt, darfst du im Nenner nur ein h stehen haben (das ist meine erste Zeile). Nun stört im Zähler das k immer, wäre es weg, hätte man die normale Herleitung. Das kx stört aber nicht, weil der Faktor sin(kx) bzw. cos(kx) keine Auswirkung auf die Grenzwertbildung hat, sondern nur das kh. Dieses nenne ich nun t. Damit habe ich wieder im Zähler beim sin und cos nur den Buchstaben t, im Nenner aber das h. Die passen nicht zueinander. Also schreibe ich dort für h das t/k. Das k ist aber zu viel, wenn dort nur ein t stünde, hhätte man wieder die normale Herleitung. Man teilt aber durch einen Bruch, indem man... also kann ich statt t/k im Nenner, sprich durch t/k zu teilen, mit k/t multiplizieren, sprich alles mit k multiplizieren und das t wieder in den Nenner schreiben. So kommt der Faktor k vor das Ganze.
Du erhältst nun die normale Herleitung mit dem Unterschied, dass der Buchstabe t statt h benutzt wird, dass aber bei sin(x) und cos(x) nun sin(kx) und cos(kx) stehen und dass das Ganze den Faktor k bekommt. Der entspricht genau der inneren Ableitung als Faktor, aber du wolltest es ja auf die harte Tour...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 Do 01.05.2008 | | Autor: | noobo2 |
ah jetzt hab ich´s ^^ ja wir steigen erst grad ins thema ein deswegen ist die herleitung recht sinnvoll danke nochmal
|
|
|
|
