Ableitung von ln(sin(x)) < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Mi 04.06.2008 | | Autor: | mrkwg |
Hallo.
Ich habe zu folgender Aufgabe den Grenzwert nach l hospital zu berechnen.
$ [mm] \limes_{\black{x\rightarrow 0}} \bruch{ln(sin(x))}{ln(tan(x))} [/mm] $
Mein Ansatz sieht wie folgt aus.
Ich leite Zähler und Nenner separat ab und setze 0 ein.
Zähler
ln(sin(x))
g=ln
h=(sin(x))
h´*g´(h(x))
Also
cos(x)*0(sin(x))
Da ist nun mein Problem. durch die 0 in dem Term wäre der Zähler 0. Damit wäre mein Ergebnis auch 0.
Glaube aber nicht das das stimmt. Wo ist der Fehler?
Den Nenner habe ich noch nicht abgeleitet, da ich gerne erst den Fehler im Zähler hätte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Mi 04.06.2008 | | Autor: | clwoe |
Hi,
ich glaube du hast schon den Zähler falsch abgeleitet. So einfach wie man nämlich denkt ist dieser Grenzwert nicht.
Ich leite jetzt also erst den Zähler ab und dann den Nenner. Wie man den ln ableitet denke ich brauche ich nicht extra zu erklären ich schreibe es aber ausführlich hin so das du es nachvollziehen kannst.
Also:
[mm] ln(sin(x))'=cos(x)*\bruch{1}{sin(x)}
[/mm]
[mm] ln(tan(x))'=\bruch{1}{cos(x)^{2}}*\bruch{1}{tan(x)}
[/mm]
Wenn ich das jetzt alles wieder als Bruch schreibe erhält man:
[mm] \limes_{n\rightarrow 0}\bruch{cos(x)*\bruch{1}{sin(x)}}{\bruch{1}{cos(x)^{2}}*\bruch{1}{tan(x)}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{\bruch{cos(x)}{sin(x)}}{\bruch{1}{cos(x)^{2}}*\bruch{cos(x)}{sin(x)}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{\bruch{cos(x)}{sin(x)}}{\bruch{1}{cos(x)*sin(x)}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{cos(x)^{2}*sin(x)}{sin(x)}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow 0}cos(x)^{2}
[/mm]
=1
Das n->0 zeigt er irgendwie nicht an, aber das ist ja auch egal.
Ich hoffe du kannst es nachvollziehen.
Gruß,
clwoe
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Hallo Dominic,
> Das n->0 zeigt er irgendwie nicht an, aber das ist ja auch
> egal.
Tut er wohl, du musst nur den Backslash vor der 0 weglassen, also
\lim_{n\rightarrow 0} ergibt [mm] $\lim_{n\rightarrow 0}$
[/mm]
Ich hab's in deinem post mal editiert 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mi 04.06.2008 | | Autor: | mrkwg |
Also erstmal vielen dank für die Mühe!!
Alleine um den Formeleditor zu bedienen dauert das lange genug.
Also auf die Ableitungen von Zähler und Nenner komme ich jetzt auch.
Eigentlich müsste es doch schon reichen wenn ich jetzt für x=0 einsetze, oder? Also wie folgt:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow 0}\bruch{cos(0)\cdot{}\bruch{1}{sin(0)}}{\bruch{1}{cos(0)^{2}}\cdot{}\bruch{1}{tan(0)}} [/mm] $
Leider geht es nicht weiter wenn ich für 1/sin(0) 0 einsetze. Sin(0) ist 0 und 1/0 geht somit nicht?
Ist es also zwingend nötig die Terme noch zusammen zu fassen?
Ach und dann direkt noch zu deinem zusammenfassen.
Kann man aus 1/tan(x) einfach cos(x)/sin(x) machen?! Scheint ja das gleiche zu sein...?
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> Also erstmal vielen dank für die Mühe!!
> Alleine um den Formeleditor zu bedienen dauert das lange
> genug.
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> Also auf die Ableitungen von Zähler und Nenner komme ich
> jetzt auch.
> Eigentlich müsste es doch schon reichen wenn ich jetzt für
> x=0 einsetze, oder? Also wie folgt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{cos(0)\cdot{}\bruch{1}{sin(0)}}{\bruch{1}{cos(0)^{2}}\cdot{}\bruch{1}{tan(0)}}[/mm]
>
> Leider geht es nicht weiter wenn ich für 1/sin(0) 0
> einsetze. Sin(0) ist 0 und 1/0 geht somit nicht?
>
> Ist es also zwingend nötig die Terme noch zusammen zu
> fassen?
>
Ja, du hast es ja mittlerweile selber erkannt. Ein andere Beispiel: [mm] f(x)=\frac{1}{\frac{1}{x}}. [/mm] Hier kann ich auch nicht direkt f(0) berechnen. Doch es gilt ja: [mm] f(x)=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x. [/mm] Also komme ich hier auch durch "zusammenfassen" erst weiter..
> Ach und dann direkt noch zu deinem zusammenfassen.
>
> Kann man aus 1/tan(x) einfach cos(x)/sin(x) machen?!
> Scheint ja das gleiche zu sein...?
>
Ja so ist der Tangens ja auch definiert.
>
Grüße Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Mi 04.06.2008 | | Autor: | mrkwg |
Juhu!!!
Es hat alles funktioniert.
Habe gefunden das tan = sin/cos und somit 1/tan = cos/sin ist.
Die ganzen weiteren Rechenschritte sind dan soweit auch alle nachvollziehbar.
Und das allerbeste ist, dass am Ende bei mir auch tatsächlcih 1 rauskommt ;)
Vielen Dank für deine Mühe!!!
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