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| Aufgabe | Geg. ist die Funktion f mit f(x) = [mm] 3/(1+x^2) [/mm] ; x E R.
a) Für welche x E R ist f streng monoton abnehmend?
b) Untersuchen Sie die Funktion f auf Extremstellen und Extremwerte.
c) Berechnen sie f'(1) und f'(2).Skizzieren Sie das Schaubild von f. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
zu:
a) haben wir letztes Jahr nur ganz kurz angesprochen, ca. 15 minuten,,das wars schon...hab also davon keien ahnung wies geht.
b) hab schon ne idee, weißaber noicht ob ich alles richtig abgeleitet hab und so...
c) der erste teil is ja leicht wenn ich rich tig abgeleitet hab, wie zeichen ich aber ein schaubild ohne x-wert?
Danke fürs Antworten, bitte nicht zu kompliziert, bin etwas schwer von begriff!^^
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Do 05.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Eine Funktion ist genau dann streng monoton fallend, wenn ihre Ableitung $f'(x)_$ negativ ist: $f'(x) \ < \ 0$ .
Du musst hier also diese Bereiche finden bzw. die Nullstellen der 1. Ableitung als Intervallgrenzen dieser gesuchten Bereiche.
Wie leuten denn Deine ersten beiden Ableitungen, um auch die anderen beiden Teilaufgaben lösen zu können?
Gruß
Loddar
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Ich wusste die Ableitungen nicht genau...bin nicht so gut darin!
Wisst ihr sie?
Ich verstehe nicht ganz, wieso f'(x) < 0 sein muss...wäre es dann für alle R+ ?
odefr wie? ich komm bei der Aufgabe nicht weiter...
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Do 05.10.2006 | | Autor: | zetamy |
Hallo
> Ich wusste die Ableitungen nicht genau...bin nicht so gut
> darin!
> Wisst ihr sie?
Du musst die Quotientenregel anwenden:
f'(x)= [mm] \bruch{-3*2x}{(1+x^2)^2}=\bruch{-6x}{(1+x^2)^2}=-6*\bruch{x}{(1+x^2)^2} [/mm]
f''(x)= [mm] 6*\bruch{-1*(1+x^2)^2+x*2*(1+x^2)*2x}{(1+x^2)^4}
=6*\bruch{-1-x^2+4x^2}{(1+x^2)^3}=6*\bruch{3*x^2-1}{(1+x^2)^3} [/mm]
> Ich verstehe nicht ganz, wieso f'(x) < 0 sein muss...wäre
> es dann für alle R+ ?
Die 1. Ableitung f'(x) gibt bekanntermaßen die Steigung von f(x) an. Wenn f'(x)>0 ist die Funktion f(x) monton steigend, ist f'(x)<0 fällt die Funktion f(x), bei f'(x)=0 liegt ein Extremum vor.
Bsp. Bei einem Hochpunkt [mm] x_E [/mm] ist f'([mm] x_E [/mm])=0, links davon ist f'(x<[mm] x_E [/mm])<0 (die Funktion steigt), rechts davon, also nach dem Hochpunkt ist f'(x>[mm] x_E [/mm])>0 (die Funktion fällt). Das gilt natürlich nur bis zum Nächsten Extremum.
Zu deiner Aufgabe: Für monoton fallend muss gelten f'(x)<0. In der 1. Ableitung ist der Nenner immer positiv (wegen dem Quadrat), im Zähler steht -6x, damit also f'(x)<0 muss [mm] x\in\IR^+ [/mm]
> odefr wie? ich komm bei der Aufgabe nicht weiter...
> Thomas
Entschuldige, dass es so lange gedauert hat. Hatte mich verrechnet  .
Gruß, Kai
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Okay, dann hatte ich ja f'(x) richtig, und dasmit x E R+ ja auch...aber ich verstehe f''(x) nicht...
Und wie wären dann die Extremstellen?
Danke fürs Antworten!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Do 05.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Die Extremstellen sind die Nullstellen der ersten Ableitung.
Marius
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| Aufgabe | Geg: f(x)=Wurzel aus [mm] (25-x^2).
[/mm]
a) berechnen Sie f'. Geben Sie Df und Df' an.
b) Stellen Sie Gleichungen von Tangente t und Normale n an das Schaubild von f im Punkt P(a/b) auf. Was fällt bei der Gleichung für die Normale auf?
Zeichnen Sie das Schaubild von f sowie für a=3 die tangente und de Norale. |
>Ja danke, hab inzwischen die gesamte Aufgabe gelöst...
Aber nun zu meiner neuen Aufgabe.
a) Bei f' hab ich folgendes raus: f'(x)=-x/(Wurzel [mm] aus(25-x^2)). [/mm] Stimmt das?
Bei Df habe ich -5=<x=<5
Aber was ist Df'?
b) Da blick ich überhaupt nicht durch, was hier mit dem a und b sein soll.
Wie geht das=?
Danke!
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Do 05.10.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
a) stimmt f'(x)= - [mm] \bruch{x}{(25-x^2)^{(- \bruch{1}{2})}}
[/mm]
Df
-5 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5
Df'
-5 < x < 5
da ja der Nenner nicht null werden darf! (d.h. der Faktor [mm] 25-x^2 [/mm] muss ungleich 0 sein)
zu b) nur ein paar anmerkungen.
die gleichung der tangente lautet allgemein:
y= mx + n
die steigung der tangente (m) ist gleich der steigung der ersten ableitung im punkt (a/b) = (a / f(a)).
also ich berechne f'(a) = ... = m
dann setze ich den punkt (a/b) in die tangentengleichung ein, und rechne so mein n aus.
y=b
x=a
b = f'(a)*a + n
n= b - f'(a)*a
damit hast du die tangentengleichung im punkt (a/b).
die normale steht immer senkrecht auf der tangente
d.h. die normale geht durch den punkt (a/b) und da die normale senkrecht auf der tangente steht gilt für die steigungen:
m1*m2 = -1
wenn m=m1 ist dann kann ich m2 [= Steigung der Normalen] ausrechnen.
setz doch einfach mal wie in aufgabenteil b2 sowieso verlangt wird für a=3 ein!
viel erfolg!
wolfgang
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
monotone