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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Mi 03.07.2013 | | Autor: | piko86 |
Hallo,
ich versuche zurzeit die erste Abletiung der folgenden Funktion zu finden.
[mm] \bruch{x^2-2x}{x^2-4}
[/mm]
Durch die Quotientenregel bin ich bis
[mm] \bruch{2x-2}{x^2-4}-\bruch{2x(x^2-2x)}{(x^2-4)^2} [/mm] gekommen
Mir ist aber bekannt das die Ableitung bis zu
[mm] \bruch{2}{(x+2)^2} [/mm] vereinfacht werden kann.
Alle meine Versuche, z.B. die rechte Seite mit [mm] (x^2-4) [/mm] zu multipizieren und dann auszuklammern etc. laufen ins leere.
Hat vielleicht jemanden einen Denkanstoß/Lösung für mich, dass ich zu [mm] \bruch{2}{(x+2)^2} [/mm] vereinfachen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mi 03.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
>
> ich versuche zurzeit die erste Abletiung der folgenden
> Funktion zu finden.
>
> [mm]\bruch{x^2-2x}{x^2-4}[/mm]
Forme vorher mal um:
[mm] f(x)=\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-4}=\frac{x\cdot(x-2)}{(x+2)\cdot(x-2)}=\frac{x}{x+2}
[/mm]
Leite dieses nun ab.
>
> Durch die Quotientenregel bin ich bis
>
> [mm]\bruch{2x-2}{x^2-4}-\bruch{2x(x^2-2x)}{(x^2-4)^2}[/mm] gekommen
Auch hier, klammere hinten aus:
[mm] \frac{2x-2}{x^{2}-4}-\frac{2x\cdot(x^{2}-2x)}{(x^{2}-4)^{2}}
[/mm]
[mm] =\frac{2x-2}{x^{2}-4}-\frac{2x^{2}\cdot(x-2)}{((x-2)(x+2))^{2}}
[/mm]
[mm] =\frac{2x-2}{x^{2}-4}-\frac{2x^{2}}{(x-2)(x+2)^{2}}
[/mm]
[mm] =\frac{2x-2}{x^{2}-4}-\frac{2x^{2}}{(x^{2}-4)(x+2)}
[/mm]
[mm] =\frac{(2x-2)(x+2)}{(x^{2}-4)(x+2)}-\frac{2x^{2}}{(x^{2}-4)(x+2)}
[/mm]
[mm] =\frac{(2x-2)(x+2)-2x^{2}}{(x^{2}-4)(x+2)}
[/mm]
[mm] =\frac{2x^{2}-2x+4x-4-2x^{2}}{(x^{2}-4)(x+2)}
[/mm]
[mm] =\frac{2x-4}{(x^{2}-4)(x+2)}
[/mm]
[mm] =\frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+2)}
[/mm]
[mm] =\frac{2}{(x+2)(x+2)}
[/mm]
[mm] =\frac{2}{(x+2)^{2}}
[/mm]
>
> Mir ist aber bekannt das die Ableitung bis zu
>
> [mm]\bruch{2}{(x+2)^2}[/mm] vereinfacht werden kann.
>
> Alle meine Versuche, z.B. die rechte Seite mit [mm](x^2-4)[/mm] zu
> multipizieren und dann auszuklammern etc. laufen ins
> leere.
>
> Hat vielleicht jemanden einen Denkanstoß/Lösung für
> mich, dass ich zu [mm]\bruch{2}{(x+2)^2}[/mm] vereinfachen kann?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Mi 03.07.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo piko, hallo Marius,
> > ich versuche zurzeit die erste Abletiung der folgenden
> > Funktion zu finden.
> >
> > [mm]\bruch{x^2-2x}{x^2-4}[/mm]
>
> Forme vorher mal um:
>
> [mm]f(x)=\frac{x^{2}-2x}{x^{2}-4}=\frac{x\cdot(x-2)}{(x+2)\cdot(x-2)}=\frac{x}{x+2}[/mm]
Zwei Bemerkungen:
1) Das ist nicht mehr die gleiche Funktion, denn nun ist x=2 erlaubt (also im Definitionsbereich). Das war es vorher nicht. Es handelt sich also um eine sogenannte stetige Ergänzung.
2) Noch einfach abzuleiten ist [mm] \cdots=1-\bruch{2}{x+2}
[/mm]
> Leite dieses nun ab.
>
> >
> > Durch die Quotientenregel bin ich bis
> >
> > [mm]\bruch{2x-2}{x^2-4}-\bruch{2x(x^2-2x)}{(x^2-4)^2}[/mm]
> gekommen
>
> Auch hier, klammere hinten aus:
>
> [mm]\frac{2x-2}{x^{2}-4}-\frac{2x\cdot(x^{2}-2x)}{(x^{2}-4)^{2}}[/mm]
>
> [mm]=\frac{2x-2}{x^{2}-4}-\frac{2x^{2}\cdot(x-2)}{((x-2)(x+2))^{2}}[/mm]
> [mm]=\frac{2x-2}{x^{2}-4}-\frac{2x^{2}}{(x-2)(x+2)^{2}}[/mm]
> [mm]=\frac{2x-2}{x^{2}-4}-\frac{2x^{2}}{(x^{2}-4)(x+2)}[/mm]
>
> [mm]=\frac{(2x-2)(x+2)}{(x^{2}-4)(x+2)}-\frac{2x^{2}}{(x^{2}-4)(x+2)}[/mm]
> [mm]=\frac{(2x-2)(x+2)-2x^{2}}{(x^{2}-4)(x+2)}[/mm]
> [mm]=\frac{2x^{2}-2x+4x-4-2x^{2}}{(x^{2}-4)(x+2)}[/mm]
> [mm]=\frac{2x-4}{(x^{2}-4)(x+2)}[/mm]
> [mm]=\frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+2)}[/mm]
> [mm]=\frac{2}{(x+2)(x+2)}[/mm]
> [mm]=\frac{2}{(x+2)^{2}}[/mm]
>
> >
> > Mir ist aber bekannt das die Ableitung bis zu
> >
> > [mm]\bruch{2}{(x+2)^2}[/mm] vereinfacht werden kann.
Auch das geht eben nur, wenn die Funktion an der Stelle x=2 stetig ergänzt werden darf; sonst nur dann, wenn x=2 weiterhin ausgeschlossen bleibt. Das muss man dann auch noch dazuschreiben!
Grüße
reverend
> > Alle meine Versuche, z.B. die rechte Seite mit [mm](x^2-4)[/mm]
> zu
> > multipizieren und dann auszuklammern etc. laufen ins
> > leere.
> >
> > Hat vielleicht jemanden einen Denkanstoß/Lösung für
> > mich, dass ich zu [mm]\bruch{2}{(x+2)^2}[/mm] vereinfachen kann?
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
> Marius
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