Ableitung und Umkehrfunktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Crashday |
Halihalo,
ich habe mal eine Frage zu der Funktion:
[mm] f(x)=ln(\bruch{4}{x}-1)
[/mm]
Die 1. Ableitung hab hier hier gebildet:
[mm] f'(x)=\bruch{x*0-4*1}{x^2}*\bruch{1}{\bruch{4}{x}-1}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{-4}{x^2}*\bruch{1}{4x-1}
[/mm]
Hier würde ich gerne fragen, ob ich das noch mehr zusammen fassen kann?
Und dann hab ich einige Probleme bei meiner Umkehrfunktion. Erst mal muss man x und y vertauschen (das sollte rauskommen:
[mm] f^{-1}(x)=4-\bruch{4e^x}{1+e^x} [/mm] )
Ich habe es mal hier versucht:
[mm] f(x)=ln(\bruch{4}{x}-1)
[/mm]
x = [mm] ln(\bruch{4}{y}-1) [/mm] e^()
[mm] e^x= \bruch{4}{y}-1
[/mm]
[mm] e^x+1= \bruch{4}{y}
[/mm]
Hier komme ich irgendwie nicht weiter.
Mich würde es freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
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Hallo Crashday,
> Halihalo,
>
> ich habe mal eine Frage zu der Funktion:
>
> [mm]f(x)=ln(\bruch{4}{x}-1)[/mm]
>
> Die 1. Ableitung hab hier hier gebildet:
>
> [mm]f'(x)=\bruch{x*0-4*1}{x^2}*\bruch{1}{\bruch{4}{x}-1}[/mm]
>
Dieser Schritt ist richtig.
> [mm]f'(x)=\bruch{-4}{x^2}*\bruch{1}{4x-1}[/mm]
Hier ist etwas schief gegangen.
Korrekt muss es lauten:
[mm]f'(x)=\bruch{1}{4x-\blue{x^{2}}}[/mm]
> Hier würde ich gerne fragen, ob ich das noch mehr zusammen
> fassen kann?
>
> Und dann hab ich einige Probleme bei meiner Umkehrfunktion.
> Erst mal muss man x und y vertauschen (das sollte
> rauskommen:
>
> [mm]f^{-1}(x)=4-\bruch{4e^x}{1+e^x}[/mm] )
>
> Ich habe es mal hier versucht:
>
>
> [mm]f(x)=ln(\bruch{4}{x}-1)[/mm]
>
> x = [mm]ln(\bruch{4}{y}-1)[/mm] e^()
>
> [mm]e^x= \bruch{4}{y}-1[/mm]
>
> [mm]e^x+1= \bruch{4}{y}[/mm]
Hier bekommst Du einen anderen Ausdruck heraus
als in der Lösung angegeben.
Der in der Lösung angegebene Ausdruck lässt
sich aber auf Deinen Ausdruck zurückführen.
>
> Hier komme ich irgendwie nicht weiter.
>
> Mich würde es freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Crashday |
Also ich hab nun den Fehler gefunden. Man kann ja alles zusammen multiplzieren aber ich versteh irgendwie nicht, warum du im Zähler 1 stehen hast. Wenn ich das ausmultipliziere kriege ich das raus:
[mm] \bruch{(x*0)-(4*1)*1}{x^2*(\bruch{4}{x}-1)}
[/mm]
[mm] \bruch{-4*1}{\bruch{4x^2}{x}-x^2}
[/mm]
[mm] \bruch{-4}{4x-x^2}
[/mm]
Und zur Umkehrfunktion. Danke schon mal für den Tipp, dass meine Funktion ein wenig anders wird aber mich würde es interessieren, wie ich damit weiter rechnen kann :D
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Hallo Crashday,
> Also ich hab nun den Fehler gefunden. Man kann ja alles
> zusammen multiplzieren aber ich versteh irgendwie nicht,
> warum du im Zähler 1 stehen hast. Wenn ich das
Nun, da hat sich auch bei mir ein Schreibfehler eingeschlichen.
> ausmultipliziere kriege ich das raus:
>
> [mm]\bruch{(x*0)-(4*1)*1}{x^2*(\bruch{4}{x}-1)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-4*1}{\bruch{4x^2}{x}-x^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-4}{4x-x^2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und zur Umkehrfunktion. Danke schon mal für den Tipp, dass
> meine Funktion ein wenig anders wird aber mich würde es
> interessieren, wie ich damit weiter rechnen kann :D
Nun, die Gleichung
[mm]e^x+1= \bruch{4}{y} [/mm]
nach y umformen, und ggf. die Ableitung davon bilden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Crashday |
Also wäre es dann:
$ [mm] e^x+1= \bruch{4}{y} [/mm] $
[mm] e^x+y [/mm] = 4
y = [mm] -e^x+4
[/mm]
?
Und dann hätte ich noch eine Frage zum Monotonieverhalten. Wenn ich die 1. Ableitung gleich 0 setze, kriege ich das raus:
[mm] \bruch{-4}{4x-x^2}=0 [/mm] mal [mm] 4x-x^2
[/mm]
-4 = 0
heißt es dann, dass es gar keine Rel. Extrema und somit auch keine Monotonie gibt?
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Hallo Crashday,
> Also wäre es dann:
>
> [mm]e^x+1= \bruch{4}{y}[/mm]
> [mm]e^x+y[/mm] = 4
Wenn Du schon mit y multiplizierst, dann auch die ganze Gleichung.
Danach steht hier [mm]y*e^{x}+y=4[/mm]
Und jetzt nach y umformen.
> y = [mm]-e^x+4[/mm]
>
> ?
>
> Und dann hätte ich noch eine Frage zum Monotonieverhalten.
> Wenn ich die 1. Ableitung gleich 0 setze, kriege ich das
> raus:
>
> [mm]\bruch{-4}{4x-x^2}=0[/mm] mal
> [mm]4x-x^2[/mm]
> -4 = 0
>
> heißt es dann, dass es gar keine Rel. Extrema und somit
> auch keine Monotonie gibt?
Es ist richtig, daß es keine lokale Extrema gibt.
Montonie gibt es trotzdem, obwohl f' nie Null wird.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Crashday |
Also ich komme bei der Umkehrfunktion absolut nicht weiter. Mich verwirren diese 2 y. Einen Ansatz wäre echt nett. Ich denke, dass es ganz einfach ist nur irgendwie komme ich nicht drauf.
Ich hab dann noch eine Frage zum Monotonieverhalten. Ich hab gerade nachgelesen, wenn f'(x) > 0 ist, ist es streng monoton steigend und wenn f'(x) < 0 ist, dann ist es streng monoton fallend. Hier wäre dann der Fall so:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{-4}{4x-x^2} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{-4}{4x-x^2} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Das heißt dann, da f'(x) > 0 ist, ist dann f(x) streng monoton steigend oder hab ich was falsch verstanden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Fr 05.11.2010 | | Autor: | javeda |
Du musst bei dem Term zuerst y ausklammern und dann nach y auflösen.
Als Beispiel zur Monotonie: die Funktion f(x)=x hat auch keine Extrema,
da f´(x)=1. Aber sie ist monoton steigend, da f´(x)=1>0.
Wenn eine Funktion ein Extrema hat, dann ist sie in dem Intervall bis zum Extrempunkt steigend und ab dem Extrempunkt fallend (oder umgekehrt).
Wenn es mehrere Extrema gibt fällt und steigt die Funktion mehrmals.
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{-4}{4x-x^2} [/mm] $ = $ [mm] \infty [/mm] $
ist falsch! Überleg mal, was passiert, wenn das x sehr groß wird, d.h. wenn Du durch sehr große Zahlen teilst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Crashday |
Also wenn ich für f'(x) von x sehr große Zahlen einsetze bzw. sehr große negative Zahlen, dann geht es gegen 0 da immer irgendwas mit 0.000000 rauskommt. Was sagt mit denn das Monotonieverhalten aus?
Das mit den Rel. Extrema kenne ich. Ich habe auch früher immer so eine Monotonietabelle gemacht und da konnte man sagen, ob es monoton steigend oder fallend ist nur das ist meine erste Funktion, die keine Rel. Extrema hat und wo man trotzdem die Monotonie nachgucken soll, was mich dabei ein wenig verwirrt.
Hier ist nochmal der Rest der Umkehrfunktion:
[mm] ye^x=y [/mm] = 4
[mm] y(e^x+1) [/mm] = 4
[mm] f^{-1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{4}{e^x+1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Fr 05.11.2010 | | Autor: | javeda |
Also der
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{-4}{4x-x^2} [/mm] $ = 0
sagt nichts über das Monotnie Verhalten aus. Wollte nur den Fehler bei
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{-4}{4x-x^2} [/mm] $ = $ [mm] \infty [/mm] $
korrigieren.
Allgemein: Die Ableitung ist die Steigung einer Funktion. Ist die Steigung an einem Punkt 0 (d.h. f'(x)=0 ) könnte dort ein Extremwert liegen. Ist die Steigung positiv (d.h. f'(x)>0 ) ist die Funktion an dieser Stelle steigend, ist sie negativ (d.h. f'(x)<0 )fallend.
Jetzt muss Du Dir überlegen: Wie sieht das f' der Funktion aus? Wird das positiv oder wird es negativ?
D.h. wann wird [mm] \bruch{-4}{4x-x²} [/mm] <0 oder [mm] \bruch{-4}{4x-x²} [/mm] >0
(und >0 wird er wenn 4x-x²<0 wird)
Jetzt musst Du nur die Lösungen für x mit dem Definitionsbereich der Funktion vergleichen.
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