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Ableitung und Taylor-Reihe: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 Mi 16.03.2005
Autor: chris2000

Hallo,

"
[mm]f(x)=x^{2}*ln(x)[/mm]
Geben Sie einen allgemeinen Ausdruck für die n-te Ableitung f^(n) (x) für n>=3 an."

f'(x)=2x*ln(x)+x
f''(x)=2ln(x)+3
[mm] f'''(x)=2*x^{-1} [/mm]
[mm] f^4(x)=-2x^{-2} [/mm]
[mm] f^5(x)=4x^{-3} [/mm]
[mm] f^6(x)=-12x^{-4} [/mm]
...

[mm]f^{(n)}(x) = (-1)^{(n+1)} *[/mm] Koeffizient [mm]x^{(2-n)}[/mm]

- Wie muss der Koeffizient heißen? es ist immer der vorherige Koeffizient mal 1, 2, 3, 4, 5... Letzteres könnte man ja vielleicht mit dem Fakultätszeichen schreiben, aber wie bekommt man den vorherigen K.?

- in einer anderen Aufgabe habe ich:
[mm](a^{n}x^{2}+2na^{n-1}x+2a^{n-2} \summe_{i=1}^{n})[/mm] gelesen. Was bedeutet das Summenzeichen am Ende eines Ausdrucks?

Chris
        
Bezug
Ableitung und Taylor-Reihe: Tipp für "Koeffizienten"-Folge
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:37 Mi 16.03.2005
Autor: Loddar

Hallo chris!


> [mm]f(x)=x^{2}*ln(x)[/mm]
> Geben Sie einen allgemeinen Ausdruck für die n-te
> Ableitung f^(n) (x) für n>=3 an."
>  
> f'(x)=2x*ln(x)+x
> f''(x)=2ln(x)+3
> [mm]f'''(x)=2*x^{-1}[/mm]
> [mm]f^4(x)=-2x^{-2}[/mm]
> [mm]f^5(x)=4x^{-3}[/mm]
> [mm]f^6(x)=-12x^{-4}[/mm]
> ...

[daumenhoch]



> [mm]f^{(n)}(x) = (-1)^{(n+1)} *[/mm] Koeffizient [mm]x^{(2-n)}[/mm]

[daumenhoch]



> - Wie muss der Koeffizient heißen? es ist immer der
> vorherige Koeffizient mal 1, 2, 3, 4, 5... Letzteres könnte
> man ja vielleicht mit dem Fakultätszeichen schreiben, aber
> wie bekommt man den vorherigen K.?

Schauen wir uns doch mal nur unsere "Koeffizienten-Folge" [mm] $a_n$ [/mm] an ...

[mm] $a_3 [/mm] \ = \ 2 \ = \ 2 * 1 \ = \ 2 * 0!$
[mm] $a_4 [/mm] \ = \ 2 \ = \ 2 * 1 \ = \ 2 * 1!$
[mm] $a_5 [/mm] \ = \ 4 \ = \ 2 * 2 \ = \ 2 * 2!$
[mm] $a_6 [/mm] \ = \ 12 \ = \ 2 * 6 \ = \ 2 * 3!$
[mm] $a_7 [/mm] \ = \ 48 \ = \ 2 * 24 \ = \ 2 * 4!$
[mm] $a_8 [/mm] \ = \ 240 \ = \ 2 * 120 \ = \ 2 * 5!$

Kannst Du nun eine Gesetzmäßigkeit erkennen?



> - in einer anderen Aufgabe habe ich:
>  [mm](a^{n}x^{2}+2na^{n-1}x+2a^{n-2} \summe_{i=1}^{n})[/mm] gelesen.
> Was bedeutet das Summenzeichen am Ende eines Ausdrucks?

[kopfkratz3] Das weiß ich auch nicht ... [haee]

Kommt da vielleicht noch etwas hinter dem Summenzeichen?



Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Ableitung und Taylor-Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:05 Do 24.03.2005
Autor: chris2000

Hallo Loddar,

danke für deine Antwort.

>  Schauen wir uns doch mal nur unsere "Koeffizienten-Folge"

Gute Idee die getrennt aufzuschreiben. Hab ich nicht gemacht.

> Kannst Du nun eine Gesetzmäßigkeit erkennen?

Ja, jetzt ist es klar:

[mm]f^{(n)}=(-1)^{n-1}*2*(n-3)!*x^{-(n-2)}[/mm]


Gruß,
Christian
Bezug
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