Ableitung rein inhaltlich < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Das Volumen einer Kugel mit dem Radius $r$ (bzw. dem Durchmesser $d$) ist [mm] $V(r)=\bruch{4}{3}*\pi*r^3$ [/mm] (bzw. [mm] $V(d)=\bruch{1}{6}*\pi*d^3$ [/mm] )
a) Weisen Sie durch rein inhaltliche Überlegungen nach, dass die lokale Änderungsrate des Volumens in Bezug auf den Radius der Oberflächeninhalt der Kugel ist.
b) Bestimmen Sie durch rein inhaltliche Überlegungen die Ableitung des Kugelvolumens nach dem Kugeldurchmesser. |
Hi!
Ich hoffe ihr könnt mir da irgendwie weiterhelfen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Sa 28.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Micchecker
Ganz genau weiss ich nicht, was dein Lehrer mit "rein inhaltlich" meint. Ich denke mal, er will, dass man nicht einfach differenziert, und feststellt, dass es stimmt. Sondern, angenommen man kennt die Oberflächenformel nicht, wie komm ich zur Überzeugung, dass das der richtige Weg ist, sie zu finden.
1.Wenn ich das Volumen eines Quaders kenne und seine Höhe H, kann ich seine Grundfläche berechnen:G=V/H. Wenn der "Quader" Trapeze als Seitenflächen hat, also Grundfläche G und Deckfläche D verschieden groß sind aber parallel, bekomme ich, wenn ich durch die Höhe dividiere den Mittelwert der 2 Flächen:(G+D)/2=V/H. Wenn ich ihn in dünne Scheiben der Dicke [mm] \Delta [/mm] H schneide ist in den einzelnen Scheiben [mm] G+D)/2\approx [/mm] G umso genauer, je kleiner [mm] \Delta [/mm] H. dabei ist G in der einzelnen Schicht natürlich abhängig von der Höhe. Damit sind wir fast fertig, Die einzelne Schicht ist [mm] \Delta [/mm] V, und wir haben [mm] $\bruch{\Delta V}{\Delta H}\approx [/mm] G$
Und [mm] $\limes_{\Delta H\rightarrow0}\bruch{\Delta V}{\Delta H}=G [/mm] (oder D)$
2.Dasselbe machen wir mit der Kugel, wir nehmen eine dünne Kugelschale, Ihr Volumen ist [mm] V(r)-V(r-\Delta [/mm] r), Ihre eine Fläche A also [mm] $\bruch{V(r)-V(r-\Delta r)}{\Delta r}\approx [/mm] A$.
Wenn man mit den "krummen" Flächen Schwierigkeiten hat, Teilt man die Kugelschale in beliebig kleine Trapezoide und rechnet die in Gedanken einzeln und klebt die Fläche am Schluss wieder zusammen.
3. Dieselbe Beziehung kannst du auch in der Ebene machen, Umfang des Kreises =Ableitung des Flächeninhalts.
Zur 2. Wenn die Oberfläche der Kugel bekannt ist, ist das genau die gleiche, umgekehrte Diskussion.
4. Damit man mit den Größen (beliebig kleine [mm] \Delta [/mm] r keine Schwierigkeiten hat, muss man dran denken, dass man das Kugelvolumen, bzw. Kreisflächeninhalt ja auch nur durch summieren über beliebig kleine Teilvolumina bekommen hat. Bei der Kugel summiert man i.A. über Kreisscheiben der Dicke dh, man könnte ja aber ganausogut über Kugelschalen der Dicke dr ,Oberfläche O, summieren, die dann die Volumina dV=O*dh hätten.
Mach dirs vielleicht erst mal noch in der Ebene mit Kreisvolumen und Umfang klar, da ist es noch leicht möglich, den Kreisring zum Trapez aufzubiegen um sich das besser vorzustellen.
Oder Bestimme die Oberfläche eines Würfels vom "Radius" r=a/2 , [mm] $V=a^3=(2r)^{3}=8r^3$ $O=24r^2=6a^2$
[/mm]
Gruss leduart
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