Ableitung mit rekursiver Funkt < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Fr 11.01.2013 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen dort, wo sie exsistieren. Nutzen Sie hierfür die aus dem Skript bekannte Formel [mm] a^{x}=e^{x *ln a} [/mm] für a [mm] \in \IR, [/mm] a>0
iv. [mm] t_{n}:(0,\infty) \to \IR, [/mm] n [mm] \in \IN_{0}, [/mm] mit [mm] t_{0}=ln(x) [/mm] und [mm] t_{n}=t`_{n-1}(x) [/mm] für n [mm] \in \IN. [/mm] |
Hallo Leute,
ich sitze gerade an meinen Hausaufgaben und komme bei obiger Aufgabe nicht zu Rande. Weiß nicht wie ich sie anpacken soll. Die Ableitung von ln x ist dabei, logischerweise nicht das Problem, sondern [mm] t_{n}.
[/mm]
Was soll ich damit nur tun? Hat jemand eine Idee?
Silfide
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Hallo silfide,
das ist bestimmt nicht die schwierigste Teilaufgabe...
> Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen
> dort, wo sie exsistieren. Nutzen Sie hierfür die aus dem
> Skript bekannte Formel [mm]a^{x}=e^{x *ln a}[/mm] für a [mm]\in \IR,[/mm]
> a>0
Diese Formel brauchst Du hier z.B. gar nicht.
> iv. [mm]t_{n}:(0,\infty) \to \IR,[/mm] n [mm]\in \IN_{0},[/mm] mit
> [mm]t_{0}=ln(x)[/mm] und [mm]t_{n}=t'_{n-1}(x)[/mm] für n [mm]\in \IN.[/mm]
> Hallo
> Leute,
>
> ich sitze gerade an meinen Hausaufgaben und komme bei
> obiger Aufgabe nicht zu Rande. Weiß nicht wie ich sie
> anpacken soll. Die Ableitung von ln x ist dabei,
> logischerweise nicht das Problem, sondern [mm]t_{n}.[/mm]
>
> Was soll ich damit nur tun? Hat jemand eine Idee?
Na, schau Dir doch mal die ersten paar [mm] t_n(x) [/mm] an.
[mm] t_1(x)=x^{-1},\;\; t_2(x)=-x^{-2},\;\; t_3(x)=2x^{-3},\;\; t_4(x)=-6x^{-4},\;\; t_5(x)=24x^{-5},\;\; \cdots
[/mm]
Das legt die Vermutung nahe: [mm] t_n(x)=(-1)^{n-1}*(n-1)!*x^{-n} [/mm] für [mm] n\ge{1}.
[/mm]
Diese Vermutung müsstest Du noch verifizieren. Dass das Bildungsgesetz für n=0 nicht gilt, kann uns ja hier nur recht sein.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Fr 11.01.2013 | | Autor: | silfide |
Hallo reverend,
erstmal vielen Dank fuer deine Hilfe!
>
> das ist bestimmt nicht die schwierigste Teilaufgabe...
Fuer mich schon.
Die anderen sind:
[mm] f(x)=x^{x}
[/mm]
[mm] g(x)=x^{f(x)}
[/mm]
[mm] h(x)=(f(x))^{x}
[/mm]
Die Aufgaben gingen eigentlich...
> > Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen
> > dort, wo sie exsistieren. Nutzen Sie hierfür die aus dem
> > Skript bekannte Formel [mm]a^{x}=e^{x *ln a}[/mm] für a [mm]\in \IR,[/mm]
> > a>0
>
> Diese Formel brauchst Du hier z.B. gar nicht.
Das habe ich mir gedacht, nur steht ueber dem Eingabefenster, dass man es exakt wiedergegeben soll ... also wollte ich auch nix unterschlagen...
>
> > iv. [mm]t_{n}:(0,\infty) \to \IR,[/mm] n [mm]\in \IN_{0},[/mm] mit
> > [mm]t_{0}=ln(x)[/mm] und [mm]t_{n}=t'_{n-1}(x)[/mm] für n [mm]\in \IN.[/mm]
> >
> Na, schau Dir doch mal die ersten paar [mm]t_n(x)[/mm] an.
> [mm]t_1(x)=x^{-1},\;\; t_2(x)=-x^{-2},\;\; t_3(x)=2x^{-3},\;\; t_4(x)=-6x^{-4},\;\; t_5(x)=24x^{-5},\;\; \cdots[/mm]
Auf die Idee bin ich gar nicht gekommen ...
> Das legt die Vermutung nahe:
> [mm]t_n(x)=(-1)^{n-1}*(n-1)!*x^{-n}[/mm] für [mm]n\ge{1}.[/mm]
>
> Diese Vermutung müsstest Du noch verifizieren. Dass das
> Bildungsgesetz für n=0 nicht gilt, kann uns ja hier nur
> recht sein.
Ich habe es mit einen Beweis ueber Induktion versucht, und haenge...
Loesung:
IA: n=1
[mm] t_1(x)=(-1)^{1-1}*(1-1)!*x^{-1}=(-1)^{0}*(0)!*x^{-1}=1*1*x^{-1}+x^{-1}
[/mm]
IV: Behauptung gilt fuer alle [mm] n\ge1
[/mm]
IS: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] t_n+1(x)=(-1)^{(n+1)-1}*((n+1)-1)!*x^{-(n+1)}=(-1)^{n}*(n)!*x^{-n-1}=(-1)^{n-1}*(-1)*(n)*(n-1)!*x^{-n}*x^{-1}=(-1)^{n-1}*(n-1)!*x^{-n}*(-1)*(n)*x^{-1}
[/mm]
Nun komme ich nicht weiter ... denke auch, dass dort ein Fehler drin ist, finde ihn aber nicht.
Also bin ich (um weiterzukommen zu der Ableitung gesprungen)
t'_{0}=1/x
[mm] t'{n}=(-1)^{n-1}*(n-1)!*-n*x^{-n}
[/mm]
weil [mm] (-1)^{n-1} [/mm] und (n-1)! quasi Konstante sind ...
Kommt das hin?
Silfide
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Hallo Silfide,
> > Na, schau Dir doch mal die ersten paar [mm]t_n(x)[/mm] an.
> > [mm]t_1(x)=x^{-1},\;\; t_2(x)=-x^{-2},\;\; t_3(x)=2x^{-3},\;\; t_4(x)=-6x^{-4},\;\; t_5(x)=24x^{-5},\;\; \cdots[/mm]
>
> Auf die Idee bin ich gar nicht gekommen ...
>
> > Das legt die Vermutung nahe:
> > [mm]t_n(x)=(-1)^{n-1}*(n-1)!*x^{-n}[/mm] für [mm]n\ge{1}.[/mm]
> >
> > Diese Vermutung müsstest Du noch verifizieren. Dass das
> > Bildungsgesetz für n=0 nicht gilt, kann uns ja hier nur
> > recht sein.
>
> Ich habe es mit einen Beweis ueber Induktion versucht,
Jo, gute Idee!
> und
> haenge...
>
> Loesung:
> IA: n=1
> [mm]t_1(x)=(-1)^{1-1}*(1-1)!*x^{-1}=(-1)^{0}*(0)!*x^{-1}=1*1*x^{-1}\red{+}x^{-1}[/mm]
Das soll wohl [mm]\red =[/mm] heißen ...
>
> IV: Behauptung gilt fuer alle [mm]n\ge1[/mm]
Nein. IV: Sei [mm]n\in\IN, n\ge 1[/mm] bel., aber fest und gelte die Beh. für n, gelte also [mm]t_n(x)=(-1)^{n-1}(n-1)!x^{-n}[/mm]
>
> IS: n [mm]\to[/mm] n+1
>
> [mm]t_n+1(x)=(-1)^{(n+1)-1}*((n+1)-1)!*x^{-(n+1)}=(-1)^{n}*(n)!*x^{-n-1}=(-1)^{n-1}*(-1)*(n)*(n-1)!*x^{-n}*x^{-1}=(-1)^{n-1}*(n-1)!*x^{-n}*(-1)*(n)*x^{-1}[/mm]
>
> Nun komme ich nicht weiter ... denke auch, dass dort ein
> Fehler drin ist, finde ihn aber nicht.
Um [mm]t_{n+1}(x)[/mm] zu berechnen, nutze die Definition:
Es ist [mm]t_{n+1}(x)=t_n'(x)[/mm] nach der Definition
Und was [mm]t_n(x)[/mm] ist, wissen wir nach IV, also
[mm]t_{n+1}(x)=t_n'(x)=\left[(-1)^{n-1}(n-1)!x^{-n}\right]'[/mm]
Und das kannst du doch einfach ableiten:
[mm]=(-1)^{n-1}(n-1)!\cdot{}(-n)\cdot{}x^{-n-1}[/mm]
Und das ist doch schnell in die Form [mm](-1)^{(n+1)-1}\cdot{}n!\cdot{}x^{-(n+1)}[/mm] gebracht ...
>
> Also bin ich (um weiterzukommen zu der Ableitung
> gesprungen)
>
> t'_{0}=1/x
> [mm]t'{n}=(-1)^{n-1}*(n-1)!*-n*x^{-n}[/mm]
> weil [mm](-1)^{n-1}[/mm] und (n-1)! quasi Konstante sind ...
>
> Kommt das hin?
Ja, so geht das, es fehlen zwar Klammern und die Ableitung von [mm]x^{-n}[/mm] ist [mm](-n)\cdot{}x^{-n\red{-1}}[/mm], aber das ist der Weg, um aus [mm]t_n(x)[/mm] dann das [mm]t_{n+1}(x)[/mm] zu berechnen ....
>
> Silfide
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Fr 11.01.2013 | | Autor: | silfide |
Hallo schachuzipus,
ich danke dir ... hatte ne paar Übertragungsfehler drin ...
Aber nun, bin ich fertig.
Schönes WE
Silfide
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