Ableitung mit Umkehrfunktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Flock |
| Aufgabe | Sei f−1 die Umkehrfunktion zu f : R → R, f(x) := x + [mm] e^x
[/mm]
Berechne die Ableitung der .
Umkehrfunktion im Intervall [0,2], für ein beliebiges aber festes 0<a<2. |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin auf folgende Aufgabe gestoßen. Mir fehlt eine Idee, wie ich es angehen soll:
Mein Ansatz:
Da f(x) monoton wachsend und stetig - also kann ich folgenden Satz benutzen: f^-1(x) = 1/f´(f^-1(x))
f'(x) = 1 + [mm] e^x
[/mm]
y = x + [mm] e^x [/mm]
ln(y) = [mm] ln(x+e^x)
[/mm]
ich weiß leider nicht weiter...
Vielen Dank im Voraus
Flock
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Hallo Flock,.
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei f−1 die Umkehrfunktion zu f : R → R, f(x) := x +
> [mm]e^x[/mm]
> Berechne die Ableitung der .
> Umkehrfunktion im Intervall [0,2], für ein beliebiges
> aber festes 0<a<2.
> Hallo!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich bin auf folgende Aufgabe gestoßen. Mir fehlt eine
> Idee, wie ich es angehen soll:
>
> Mein Ansatz:
> Da f(x) monoton wachsend und stetig - also kann ich
> folgenden Satz benutzen: f^-1(x) = 1/f´(f^-1(x))
>
> f'(x) = 1 + [mm]e^x[/mm]
> y = x + [mm]e^x[/mm]
Du kannst hier nicht nach x auflösen.
Die Umkehrfunktion kann hier nur näherungsweise bestimmt werden.
> ln(y) = [mm]ln(x+e^x)[/mm]
> ich weiß leider nicht weiter...
>
> Vielen Dank im Voraus
>
> Flock
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 So 30.01.2011 | | Autor: | Flock |
Ich dachte es gäbe eine nicht numerische Lösung dazu. Wenn ich es näherungsweise bestimmen sollte, dann mache ich dann eine Taylorentwicklung um den Punkt 1 der Funktion x - [mm] e^x, [/mm] und spiegele anschließend an der Winkelhalbierenden des Koordinatensystems bzw. stelle wie gewohnt die Gleichung nach y um. Ist das Vorgehen ok? oder gibt es eine elegantere Näherungsalternative?
Danke für die Antwort, Mathepower.
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Huhu,
ok, fassen wir mal zusammen
Es gilt ja:
[mm] $f^{-1}'(y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{f'(x)}$ [/mm] wobei $y=f(x)$
So, nun sollst du [mm] $f^{-1}'(a)$ [/mm] für ein [mm] $a\in [/mm] (0,2)$ angeben.
Tollerweise gilt ja nun gerade $f(0) = 1 [mm] \in [/mm] (0,2)$.
Was würde sich dann besser anbieten als [mm] $f^{-1}'(1)$ [/mm] nach obiger Formel direkt zu berechnen?
edit: Ok, ich merk gerade, dass man die Aufgabe auch so verstehen kann, dass man die Ableitung für alle [mm] $a\in [/mm] (0,2)$ angeben soll.
Aber dann hätte man auch einfach schreiben können "Gib die Ableitung der Umkehrfunktion im Intervall (0,2) an".
Insofern würd ich die Aufgabe so verstehen, dass DU dir ein beliebiges a aus dem Intervall (0,2) wählen sollst und DAFÜR die Umkehrfunktion berechnen. Anders wirds wohl kaum gehen.....
MFG,
Gono.
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