Ableitung in einem Punkt ber. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^4 \to \IR [/mm] definitert durch f(x): = [mm] \summe_{j=1}^{4} j*x_{j}.
[/mm]
Berechnen Sie die Ableitung f' im Punkt a = (1 , 1, 1, 1).
f ' (a) [s,t,u,v)] = |
Hallo zusammen,
bald sind Prüfungen und ich wiederhole die ganzen Sachen...
Daher nicht über viele neue Beiträge meinerseits wundern :)
Zur Aufgabe oben:
Ich habe mnir zunächst aufgeschrieben wie die Funktion aussieht:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{3} [/mm] + [mm] 4x_{4}.
[/mm]
= s + 2t + 3u + 4v
Ich wollte nun zunächst die Formel für die Richtungsableitungen verwenden.. Aber da ich hier kein v gegeben hab brauch ich diese (denk ich mal) nicht.
Meine Idee wäre nun das ganze abzuleiten und dann den Punkt a einsetzen.
Aber irgendwie weiß ich nicht wie ich das anstellen soll... Hat jemand für mich bitte einen Hinweis?
Gruß und danke,
steffi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:13 Mo 14.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Die Funktion ist stetig differenzierbar auf [mm] \IR^4, [/mm] also ist
f'(a) = gradf(a) für jedes a aus [mm] \IR^4.
[/mm]
Hilft das ?
FRED
|
|
|
| |
|
hm... ich glaub nicht....
Wenn ich aber den grad bilde erhalte ich:
(1,2,3,4) denke mal aber das ist falsch oder ?
Lg
steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Mo 14.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Das ist richtig.
Was ist damit
f ' (a) [s,t,u,v)] =
gemeint ? Skalarprodukt ?
FRED
|
|
|
| |
|
Das wewiß ich leider nicht...
Aber Problem ist doch, wenn ich nun den grad gebildet habe, habe ich keine Variablen mehr wo ich den Punkt a einsetzen könnte...
Lg
steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Mo 14.07.2008 | | Autor: | SEcki |
> Das wewiß ich leider nicht...
> Aber Problem ist doch, wenn ich nun den grad gebildet habe,
> habe ich keine Variablen mehr wo ich den Punkt a einsetzen
> könnte...
Du musst das anders sehen. Die Betrachtung mit Gradient ist hier falsch. Du musst [m]f'[/m] als das nehmen, was es ist: eine lineare Abbildung. Und in diese lineare Abbildung musst du den Vektor [m](s,t,u,v)[/m] einsetzen. Das ist in unserem Fall das gleiche wie das Skalarprodukt, also [m][/m].
SEcki
|
|
|
| |
|
sorry, aber ich kann dir leider nicht folgen :(
Wie kommen wir denn dadrauf das es das skalarprodukt ist ?
Irgendwie blicke ich da gerade überhaupt nicht durch :(
Lg
steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Mo 14.07.2008 | | Autor: | SEcki |
> Wie kommen wir denn dadrauf das es das skalarprodukt ist
> ?
Das ist die Definition von einem Gradienten.
Einen Schritt zurück also: wie habt ihr denn [m]f'(a)[/m] definiert? Das ist doch die Jacobimatrix - und diese Matrix multiplizierst du von links an den Vektor heran.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Mo 14.07.2008 | | Autor: | SEcki |
> f'(a) = gradf(a) für jedes a aus [mm]\IR^4.[/mm]
Eigentlich gilt [m]f'(a) = (gradf(a) )^t[/m]. Die Ableitung als solche (eine lineare Abbildung [m]\IR^4\to\IR[/m]) ist nicht a priori ein Vektor (Gradient), sondern muss mittels Identifikation von Dualraum mit dem ursprünglichen Raum vollzogen werden. Das wird wichtig, wenn man Gradient nicht mehr kanonisch definieren kann - zB auf einer Mannigfaltigkeit.
SEcki
|
|
|
|
