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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Di 03.07.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Nehmen Sie Stellung:
Gelten auch für komplextwertige Funktionen Summen- und Produktregel sowie die Regel für die Ableitung konstanter Funktionen |
Hoi.
Ich habe mal aus der Vorlesung herausgesucht was mit dem Thema zusammenhängt
Wenn f: I [mm] \to \IR [/mm] und g: I [mm] \to \IR [/mm] im Punkt [mm] x_0 [/mm] differenzierbar sind, dann nennt man die komplexwertige Funktion h: I [mm] \to \IC [/mm] mit
h(x) := f(x)+ig(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I im Punkt [mm] x_o [/mm] differenzierbar.
Man definiert die Ableitung [mm] h'(x_0) [/mm] von h im Punkt [mm] x_0 [/mm] in natürlicher Weise wie folgt:
[mm] h'(x_0) [/mm] := [mm] f'(x_0) [/mm] + i [mm] g'(x_0)
[/mm]
Ich soll halt nur sagen ob die Aussage oben stimmt oder nicht. Ich würde jetzt mal sagen, daß die stimmt weil ich noch nie in einem Buch gelesen habe, daß die Ableitungsregeln nur für [mm] \IR [/mm] gelten. Lieg ich damit jetzt erst mal richtig?
Kann die Aufgabe jemand begründen oder mir sagen, ob ich da überhaupt richtig liege? Wenn die Regeln gelten sollten, was ich ja vermute.
Wozu dann die neue definition für so eine ableitung? irgendwie versteh ich da was nicht.
Grüße
Wehm.
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Natürlich liegst du richtig, da sich diese Regeln auf die entsprechenden Regeln für reellwertige Funktionen zurückführen lassen, nimm zum Beispiel die Summenregel: h(x) = f(x) +ig(x) und u(x) = v(x) + i r(x) impliziert: h(x) + u(x) = (f(x) + v(x)) + i(g(x) +r(x)), also nach Definition der Differenzierbarkeit bei komplexwertigen Funktionen:
(h(x)+u(x))´= (f(x) + v(x))´+ i(g(x) + r(x))´ und, da f,v,g,r differenzierbare reelle Funktionen sind ist das = f´(x) + v´(x) + i( g´(x) + r´(x)) =
h´(x) + u´(x)!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Di 03.07.2007 | | Autor: | Wehm |
Hi.
Also ist die Antwort: Ja, sie gelten?
So ganz verstehe ich deine Antwort leider nicht, also worauf die Antwort überhaupt abzielen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Di 03.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist ganz egal was du oder irgendjemand "denkt" du musst das einfach nachweisen:
Summenregel wurde dir vorgemacht.
Produktregel.
nimm ein h(x) und ein k(x) und schreib die Produktregel für h*k in der üblichen Weise.
dann rechne h*k aus und leite dann ab. indem du Imaginärteil und Realteil einzeln ableitest. Dann musst du feststellen, ob dasselbe rauskommt.
ohne die Arbeit hilft alles Vermuten nix.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Mi 04.07.2007 | | Autor: | Wehm |
Ich probiere es dann mal für die Produktregel
h(x) = f(x) +ig(x) und u(x) = v(x) + i r(x)
$h(x) * u(x) = [f(x) + i*g(x)]*[v(x)+i*r(x)]$
$h(x) * u(x) = [f(x)v(x) + i*f(x)*r(x)+ i*g(x)*v(x)+i^2g(x)r(x)]$
h(x) u(x) = f(x)v(x) - g(x)r(x) + i*(f(x)r(x)+g(x)v(x))
Das ist differenzierbar. i ist ja nur ein Vorfaktor und f(x)v(x) und g(x)r(x) ist nach der Produktregel wie in R
ist die Argumentation so gültig?
Gruß
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Hi,
ich denke, genau das musst du ja zeigen.
Du hast h(x)u(x)=f(x)v(x) - g(x)r(x) + i*(f(x)r(x)+g(x)v(x)) richtig berechnet.
Nun leite mal das Produkt der komplexen Fkten h(x)u(x) nach der Produktregel ab, und schaue, ob da dasselbe rauskommt, wie wenn du f(x)v(x) - g(x)r(x) + i*(f(x)r(x)+g(x)v(x)) (nach den reellen Ableitungsregeln ) ableitest
Dh. bilde mal h'(x)u(x)+h(x)u'(x) und prüfe, ob das dasselbe ergibt wie die Ableitung auf der rechten Seite
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:58 Do 05.07.2007 | | Autor: | Wehm |
Hoi,
> ich denke, genau das musst du ja zeigen.
schade, dann hab ich das für zu trivial gehalten.
Jetz weiß ich wies geht. Danke euch allen
Gruß
Wehm
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