Ableitung in Banachräumen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 So 29.06.2008 | | Autor: | Ninjoo |
Wir haben in unserer VL gezeigt, dass für eine Abbildung f: X-->Y gilt(X,Y Banachräume):
f diffbar in [mm] x_{0} \gdw f(x)=f(x_{0}) +f'(x-x_{0}) [/mm] + [mm] r(x)*||x-x_{0}||
[/mm]
und [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] r(x)=0
Dann gilt offenbar
[mm] f(x_{0}+h)=f(x_{0}) [/mm] +f'(h) + [mm] r(x_{0}+h)*||h|| [/mm] und [mm] \limes_{h\rightarrow 0} r(x_{0}+h)=0
[/mm]
Mein Ana Tutor hat behaupted, das wäre dasselbe wie:
[mm] f(x_{0}+h)=f(x_{0}) [/mm] +f'(h) + r(h)*||h|| und [mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] r(h)=0
also wenn man das [mm] x_{0} [/mm] in r, weglässt. Kann mir das jemand erklären? Meint er eine andere funktion r? Ich verstehe nicht wieso das gelten sollte, allerdings ist es wichtig für einen Beweis den er gemacht hat, den ich leider in der Hausaufgabe so ähnlich brauche....
Würde mich freuen über Antworten! Danke
Gruss Ninjoo
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> Wir haben in unserer VL gezeigt, dass für eine Abbildung f:
> X-->Y gilt(X,Y Banachräume):
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> f diffbar in [mm]x_{0} \gdw f(x)=f(x_{0}) +f'(x-x_{0})[/mm] +
> [mm]r(x)*||x-x_{0}||[/mm]
>
> und [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] r(x)=0
>
> Dann gilt offenbar
>
> [mm]f(x_{0}+h)=f(x_{0})[/mm] +f'(h) + [mm]r(x_{0}+h)*||h||[/mm] und
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} r(x_{0}+h)=0[/mm]
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> Mein Ana Tutor hat behaupted, das wäre dasselbe wie:
>
> [mm]f(x_{0}+h)=f(x_{0})[/mm] +f'(h) + r(h)*||h|| und
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}[/mm] r(h)=0
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> also wenn man das [mm]x_{0}[/mm] in r, weglässt. Kann mir das jemand
> erklären? Meint er eine andere funktion r?
Streng genommen ja. Er meint in seiner als äquivalent behaupteten Definition von "$f$ ist differenzierbar in [mm] $x_0$" [/mm] die Funktion [mm] $h\mapsto r(x_0+h)$. [/mm] Denn [mm] $x_0$ [/mm] ist ja festgehalten. Das heisst, man kann [mm] $r(x_0+h)$ [/mm] auch als eine Funktion von $h$ alleine auffassen: dass diese beiden Funktionen in beiden Definitionen den Namen $r$ erhalten haben, tut eigentlich nichts zur Sache, denn diese Funktion $r$ ist in beiden Defintionen "existenzquantifiziert" (es gibt eine Funktion $r$ mit [mm] $\ldots$).
[/mm]
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