Ableitung, ich krieg die Krise < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:58 Do 20.09.2007 | | Autor: | Tauphi |
Hallo zusammen,
ich häng grad an einer Aufgabe fest, wo es darum geht, die Taylor Reihen zu machen. Leider krieg ich die Ableitung null gebacken und würde mich freuen, wenn mir jemand zeigen könnte, wie es richtig geht ...
Also ich muss aus folgendem die Ableitung bilden:
g(x) = [mm] \bruch{\sin(\wurzel{3*x})}{x^{2}}
[/mm]
Grundsätzlich würde ich jetzt behaupten, dass ich dort mit der Quotientenregel weiterkomme, welche besagt:
[mm] \bruch{g(x)}{h(x)} [/mm] = [mm] \bruch{g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x)}{h(x)^{2}}
[/mm]
Setze ich das in mein Ursprungsbiest ein, erhalte ich:
[mm] \bruch{ (\sin(\wurzel{3*x}))'*x^{2}-\wurzel{3*x}*(x^{2})' }{x^{4}}
[/mm]
Bin ich damit bisher richtig?
Als nächstes würde ich dann versuchen, aus folgendem die Ableitung zu bilden:
[mm] \sin(\wurzel{3*x})
[/mm]
Da würde ich dann sagen, ich muss die Kettenregel anwenden ... also:
g(h(x)) = g'(h(x)) * h'(x)
Eingesetzt dann also:
[mm] \cos(\wurzel{3*x}) [/mm] * [mm] (\wurzel{3*x})'
[/mm]
Bis dahin auch richtig?
Falls ja, dann zu meinem wirklichen Problem:
[mm] (\wurzel{3*x})'
[/mm]
Ich kriege das Dingen einfach nicht abgeleitet. Ich nehme an, ich muss hier ebenfalls die Kettenregel anwenden?
Als Ergenis davon sollte [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2*\wurzel{x}} [/mm] rauskommen, aber egal, was ich rechne, es kommt nur humbug raus.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand sagen kann, ob die Schritte bis dort hin an sich richtig waren und wie ich mit dieser Wurzelableitung umgehe, damit ich letzlich auf mein Ergebnis kommen kann.
Danke, viele Grüße und schönen Abend :)
Der Andi
PS: Als komplettes Endergebnis sollte im übrigen folgendes rauskommen:
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{\cos(\wurzel{3}*\wurzel{x})*\wurzel{3}}{x^{\bruch{5}{2}}}-\bruch{2*\sin(\wurzel{3}*\wurzel{x})}{x^{3}}
[/mm]
Kann ich momentan absolut null nachvollziehen... Falls jemand Zeit und Lust hat -> Eine Anleitung, wie man auf das Ergebnis kommt, wäre sehr willkommen :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 Do 20.09.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Statt [mm] x^{2} [/mm] im Nenner kannst du auch [mm] x^{-2} [/mm] im Zähler schreiben.
Dann bist du den Quotienten los.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 20.09.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Bedenke ferner dass [mm] \wurzel{3x} [/mm] = [mm] (3x)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Dann ist es leichter.
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Hallo Andreas,
> Also ich muss aus folgendem die Ableitung bilden:
> g(x) = [mm]\bruch{\sin(\wurzel{3*x})}{x^{2}}[/mm]
>
> Grundsätzlich würde ich jetzt behaupten, dass ich dort mit
> der Quotientenregel weiterkomme
jo, würde ich auch mal sagen
, welche besagt:
> [mm]\bruch{g(x)}{h(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x)}{h(x)^{2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Setze ich das in mein Ursprungsbiest ein, erhalte ich:
> [mm]\bruch{ (\sin(\wurzel{3*x}))'*x^{2}-\blue{\sin(}\wurzel{3*x}\blue{)}*(x^{2})' }{x^{4}}[/mm]
>
> Bin ich damit bisher richtig?
du hast das [mm] \sin [/mm] "verschlabbert"
>
> Als nächstes würde ich dann versuchen, aus folgendem die
> Ableitung zu bilden:
> [mm]\sin(\wurzel{3*x})[/mm]
>
> Da würde ich dann sagen, ich muss die Kettenregel anwenden
> ... also:
> g(h(x)) = g'(h(x)) * h'(x)
Jo!
> Eingesetzt dann also:
> [mm]\cos(\wurzel{3*x})[/mm] * [mm](\wurzel{3*x})'[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Bis dahin auch richtig?
>
> Falls ja, dann zu meinem wirklichen Problem:
> [mm](\wurzel{3*x})'[/mm]
>
> Ich kriege das Dingen einfach nicht abgeleitet. Ich nehme
> an, ich muss hier ebenfalls die Kettenregel anwenden?
Klar, es bleibt dir nix erspart 
> Als Ergenis davon sollte [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2*\wurzel{x}}[/mm]
> rauskommen, aber egal, was ich rechne, es kommt nur humbug
> raus.
>
> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand sagen kann, ob die
> Schritte bis dort hin an sich richtig waren und wie ich mit
> dieser Wurzelableitung umgehe, damit ich letzlich auf mein
> Ergebnis kommen kann.
ok, die eine und einfachere Möglichkeit ist es, das Vieh zunächst umzuschreiben, also [mm] \sqrt{3x}=(3x)^{\frac{1}{2}}
[/mm]
Das kannst du dann auf die normale Art mit der Potenregel und Kettenregel ableiten:
[mm] $\left((3x)^{\frac{1}{2}}\right)'=\underbrace{\frac{1}{2}(3x)^{-\frac{1}{2}}}_{\text{äüßere Ableitung nach Potenzregel}}\cdot{}\underbrace{3}_{\text{innere Abl.}}$
[/mm]
Das kannst du noch schön zusammenfassen...
[mm] $=\frac{3}{2}\cdot{}\frac{1}{\sqrt{3x}}=\frac{\sqrt{3}\cdot{}\sqrt{3}}{2}\cdot{}\frac{1}{\sqrt{3}\cdot{}\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}$
[/mm]
Das noch mit dem anderen Teil verquirlen und schön zusammenfassen...
> Danke, viele Grüße und schönen Abend :)
> Der Andi
>
> PS: Als komplettes Endergebnis sollte im übrigen folgendes
> rauskommen:
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{\cos(\wurzel{3}*\wurzel{x})*\wurzel{3}}{x^{\bruch{5}{2}}}-\bruch{2*\sin(\wurzel{3}*\wurzel{x})}{x^{3}}[/mm]
>
> Kann ich momentan absolut null nachvollziehen... Falls
> jemand Zeit und Lust hat -> Eine Anleitung, wie man auf das
> Ergebnis kommt, wäre sehr willkommen :)
Hilft' soweit?
Sonst hak nach...
Schönen Abend
schachuzipus
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Hallo Tauphi!
Für die Entwicklung der entsprechenden Taylo-Reihe kannst Du es Dir auch vereinfachen, wenn Du die fertige Taylor-Reihe der [mm] $\sin(z)$-Funktion [/mm] verwendest:
[mm] $$\sin(z) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*\bruch{z^{2k-1}}{(2k-1)!} [/mm] \ = \ [mm] z-\bruch{z^3}{3!}+\bruch{z^5}{5!}-\bruch{z^7}{7!}\pm [/mm] ...$$
Hier nun entsprechend einsetzen:
$$g(x) \ = \ [mm] \bruch{\sin\left( \ \wurzel{3x} \ \right)}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{3x}-\bruch{\left( \ \wurzel{3x} \ \right)^3}{3!}+\bruch{\left( \ \wurzel{3x} \ \right)^5}{5!}-\bruch{\left( \ \wurzel{3x} \ \right)^7}{7!}\pm ...}{x^2} [/mm] \ = \ ...$$
Nun im Zähler zusammenfassen und anschließend durch [mm] $x^2$ [/mm] kürzen ...
Gruß vom
Roadrunner
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Ich würde die Ursprungsformel folgendermaßen umformen:
[mm] f(x)=x^{-2}*sin(\wurzel{3}*x^{\bruch{1}{2}})
[/mm]
Das [mm] \wurzel{3} [/mm] ist dabei wie ein fester Faktor. Da ändert sich nichts dran.
Wissen muss man nun noch, wie die Ableitung von sin(x) ist.
Die ist cos(x).
Und dann muss man noch die Produktregel und die Kettenregel kennen. Das sind alle "Zutaten", die man hier braucht.
Nun zum "Kochrezept": Man nehme...
... die Ableitung von [mm] sin(\wurzel{3}*x^{\bruch{1}{2}}) [/mm] nach der Kettenregel...
... dann wende man die Produktregel auf [mm] x^{-2} [/mm] * [mm] sin(\wurzel{3}*x^{\bruch{1}{2}}) [/mm] an
... dann gut umrühren (zusammenfassen): zum Beispiel
Aus [mm] x^{-2}*x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] mach [mm] \bruch{1}{x^{\bruch{5}{2}}}
[/mm]
... dann das ganze in den Backofen, und das bereis bekannte Ergebnis kommt raus
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