Ableitung h-methode wurzeln < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:54 So 29.05.2011 | | Autor: | BueEye91 |
| Aufgabe | f(x)= 3wurzel(x)
g(x)= 5wurzel 4x² |
ich habe ein problem mit der lösung der ableitung von 3wurzel x mit Hilfe der h-methode..ich weiß,dass ich dieses als [mm] x^1/3 [/mm] schreiben kann,komme dennoch nicht weiter...ebenso bei der aufgabe 5wurzel 4x².. wie muss ich das rechnen? bitte um hilfe und erklärung! vielen dank
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.gutefrage.net/frage/ableitung-mit-h-methode-3wurzel-x
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Hallo BlueEye91,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
nun, bei Wurzelfunktionen muss man da ja immer irgendwie geeignet erweitern, so dass die Potenzen im Zähler ganz werden:
[mm] f(x)=\wurzel[3]{x}
[/mm]
[mm] \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\wurzel[3]{x+h}-\wurzel[3]{x}}{h}
[/mm]
und jetzt überlege dir mal, wie man die Identität
[mm] a^3-b^3=(a-b)*(a^2+a*b+b^2)
[/mm]
hier nutzen kann, um geeignet zu erweitern.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 So 29.05.2011 | | Autor: | BueEye91 |
gut vielen dank... das wäre ja zuerst:
x^(1/3)+h^(1/3) - x^(1/3) * (x + h)^(2/3) + x^(1/3)·(x + h)^(1/3) + x^(2/3)
------------------------- -----------------------------------------------
h (x + h)^(2/3) + x^(1/3)·(x + h)^(1/3) + x^(2/3)
oder? aber das muss ich doch irgendwie zusammenfassen.. ein teil wäre:
h^(1/3) * (x+h)^(2/3) + (x^(2/3)+ xh^(2/3)) + x^(2/3)
-------- -------------------------------------------
h (x+h)^(2/3) + (x^(2/3)+ xh^(2/3)) + x^(2/3)
und dann? bekomme dieses nicht weiter zusammengefasst...
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Hallo,
nein, das ist nun ganz falsch:
[mm] \wurzel[3]{a+b}\not=\wurzel[3]{a}+\wurzel[3]{b}
[/mm]
Erweitere bei dieser Aufgabe mit
[mm] \wurzel[3]{(x+h)^2}+\wurzel[3]{(x+h)*x}+\wurzel[3]{x^2}
[/mm]
Siehst du, was nun im Zähler passiert, und weshalb man den Grenzwert nun auswerten kann?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 So 29.05.2011 | | Autor: | BueEye91 |
okay also links könnte ich das h kürzen und subtrahieren,sodass 1/1 übrigbleibt
und wenn man für h 0 eingibt erhält man:
1 * 3wurzel( x+0)² + 3wurzel(x²+0x) + 3wurzel(x²)
- ---------------------------------------------
1 3wurzel( x+0)² + 3wurzel(x²+0x) + 3wurzel(x²)
zusammengefasst wäre das ja sowohl im zähler, als auch im nenner 1* 3*wurzel(x²)
oder übersehe ich hier irgendetwas ;) -,-
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Hallo,
wenn du erkannt hast, dass du mit h kürzen kannst (was richtig ist), weshalb steht dann im Zähler noch etwas anderes als 1? 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 So 29.05.2011 | | Autor: | BueEye91 |
das frag ich mich auch..also wenn ich h im nenner durch 3* 1/3h im zähler kürzen würde..käme doch raus:
0 * 3* 3 wurzelx² <----die Hs sind weg
- -------------
1 3* 3 wurzelx² <---- -"-
irgendwie habe ich eine denkblokade, aber vielen dank,dass Sie sich die zeit nehmen :D im linken zähler habe ich ja 0 raus,da 3wurzelx-3wurzelx und null mal irgendetwas(rechter teil) sind doch 0 und nicht 1...
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Hallo BlueEye,
ich werde dir jetzt die erste Aufgabe vorrechnen. Bitte studiere es genau, und wende das Prinzip auf die andere Aufgabe an. Wobei du noch folgendes wissen solltest: die von mir angegebene Gleichung gilt nicht nur für n=3 sondern allgemein für [mm] n\in\IN. [/mm] Also
[mm] (a^{n+1}-b^{n+1})=(a-b)*(a^n+a^{n-1}*b+...+b^n)
[/mm]
Nun zur ersten Aufgabe:
[mm] f(x)=\wurzel[3]{x}
[/mm]
[mm] \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\wurzel[3]{x+h}-\wurzel[3]{x}}{h}
[/mm]
[mm] =\frac{(\wurzel[3]{x+h}-\wurzel[3]{x})*(\wurzel[3]{(x+h)^2}+\wurzel[3]{(x+h)*x}+\wurzel[3]{x^2})}{h*(\wurzel[3]{(x+h)^2}+\wurzel[3]{(x+h)*x}+\wurzel[3]{x^2})}
[/mm]
[mm] =\frac{x+h-x}{h*(\wurzel[3]{(x+h)^2}+\wurzel[3]{(x+h)*x}+\wurzel[3]{x^2})}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{\wurzel[3]{(x+h)^2}+\wurzel[3]{(x+h)*x}+\wurzel[3]{x^2}}
[/mm]
So, und hier den Grenzwert für h->0 zu bestimmen solltest du alleine hinbekommen.
Ist dir das Prinzip damit jetzt klar geworden?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 So 29.05.2011 | | Autor: | BueEye91 |
also wie kommtes denn,dass der zähler 1 ergibt? wenn ich durch h-kürze bleiben doch dennoch die 3wurzelterme übrig,die addiert/multipliziert werden...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:39 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> also wie kommtes denn,dass der zähler 1 ergibt? wenn ich
> durch h-kürze bleiben doch dennoch die 3wurzelterme
> übrig,die addiert/multipliziert werden...
nein, da hast du wohl die Hinweise nicht gründlich genug durchgelesen. Ich habe dir auf deine letzte Frage eine ausführliche Antwort geschrieben.
Gruß, Diophant
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