Ableitung eines Integrals < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Fr 28.09.2007 | | Autor: | ell |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo!
Vielleicht kann mir jemand von Euch weiterhelfen?! Und zwar habe ich folgendes Integral:
[mm] I= \integral_{P=Ps}^{Pmax} \left( \bruch{a}{a-H_k}+ \bruch{N}{a} \right)^{(n+4)} \, dP [/mm]
Dabei ist H auch von P abhängig:
[mm] H_k=A+\sum_{k=1}^{k_{max}} B*ln \bruch{P_{k+1}}{P_k} [/mm]
Ich müsste nun die Ableitung des Integrals nach dP berechnen. Mein Vorschlag wäre ja gewesen:
[mm] \bruch{\partial I}{\partial dP}= \left( \bruch{a}{a-H_k}+ \bruch{N}{a} \right)^{(n+4)} [/mm]
also einfach der Integrand. Da aber wie gesagt H auch eine Funktion von P ist (und die Grenzen des Integrals ja auch irgendwie von P abhängen) bin ich mir da gar nicht mehr sicher ob die Ableitung nicht doch anders lauten müsste.
Wäre echt dankbar wenn mir da jemand weiterhelfen könnte!
Danke Euch schon mal für Eure Mühe!
Vielleicht zur Erklärung des Integrals noch was: Hierbei handelt es sich um eine Integration über verschiedene Druckschichten dP. Die Integrationsgrenze unten ist der Oberflächendruck Ps, die obere Grenze Pmax ist der Druck in einer gewissen Höhe. (A, B, N und a sind Konstanten)
Grüße
ell
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Fr 28.09.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du musst das Integral als eine von P abhängige Funktion betrachten und dann die Kettenregel anwenden.
Schau mal hier:
http://www.mathematik.uni-dortmund.de/lsi/kaballo/b7.pdf
In Aufgabe 3 ist ein ähnliches Problem genannt. Das P im Integranden spielt für die Ableitung keine Rolle, also kannst du esauch y nennen und nach dy integrieren. Das übrig gebliebene P in den Grenzen, nach dem abeleitet wird, kannst du x nennen und verwendest die Aufgabe 3.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Fr 28.09.2007 | | Autor: | ell |
Danke erstmal "Hund" für die rasche Antwort!
ABer in der Aufgabe 3 unter dem Link wird nach x abgeleitet. Ich müsste das Integral aber nach dP bzw. bezieht man es auf das Beispiel unter dem Link, nach dy ableiten...
Vielleicht trifft ja auch in meinem Fall die Kettenregel zu? Und ich muss noch nach H nachdifferenzieren? Weil ja H schließlich eine Funktion von P ist? Hm.... *verwirrt*
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Fr 28.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn man die Ableitung eines Integrals ansieht, so ist das nur die Stammfkt. wenn man nach der oberen, bzw. unteren Grenze ableitet.
Die obere und untere Grenze scheinen bei dir konstant zu sein?
Dann kann man, solange im Integral ne diffb. Funktion steht und es endlich ist einfach Integration und Differentiation vertauschen.
Es bleibt also ein Integral stehen.
das dP ist nur ein Symbol, danach kannst du nicht ableiten!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Mo 01.10.2007 | | Autor: | ell |
Hi leduart!
Du sagst ich kann nicht nach dP ableiten?! Und es bleibt, wenn meine Grenzen kostant sind ein Integral stehen? Könntest du das vielleicht ausführlicher (explizit) darstellen?
Ich müsste das Integral aber nach dP ableiten, denn Ziel des Ganzen ist es den Fehler des Integrals I zu bestimmen. Fehlerbehaftet auf der rechten Seite sind dabei dP und H. Nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz muss ich dann das Integral nach den beiden fehlerbehafteten Größen ableiten um auf den Fehler des Integrals zu kommen. (Das ganze wird natürlich numerisch gelöst/programmiert). Die ABleitung nach H ist klar, aber die ABleitung nach dP????
Ich bin für jeden weiteren Beitrag dazu dankbar!
grüße
ell
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Mo 01.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
dP ist doch keine Größe, die nen Fehler haben kann? Wenn dann doch P?
[mm] F(a,b,y)=\integral_{a}^{b}{f(x,y) dx}=\integral_{a}^{b}{f(u,y) du}=\integral_{a}^{b}{f(p,y) dp}
[/mm]
Das Integral hängt von f und von a,b,y ab, nicht von x oder p schon gar nicht von dp.
Wie du ne Summe über [mm] P_k [/mm] als Funktion von P auffassen kannst versteh ich auch nicht. wie hängt denn [mm] P_k [/mm] mit P zusammen?
Du musst also dein Problem genauer schildern, damit ich was dazu sagen kann.
(Da in deinem Profil nix über Studienfach oder Vorkenntnisse steht ist es auch schwer, angemessen zu antworten.)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Mo 01.10.2007 | | Autor: | ell |
hi leduart!
Danke erst mal für deine Mühe! Is sicherlich nicht selbstverständlich.
Hast ja auch recht, dass mein Problem nicht gerade ausführlich beschrieben ist, aber genau das wollte ich vermeiden, weils nicht in gerade wenigen Worten zu formulieren ist. Trotzdem versuch ichs mal.
Im Anhang stehen meine Formeln und deren Zusammenhänge. Hoffe da ist das Problem nun verständlicher formuliert.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Mo 01.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Soweit ich das verstanden habe hast du keine kontnuierliche Funktion sondern H ist ne Summe von [mm] P_k [/mm] und was du dP nennst ist auch kein Differential, sonddern ne diskrete Differenz zwischen P_ks also hast du auch kein Integral sondern eine Summe. die kann man einfach nach Summenregel ableiten
also
[mm] I=\summe_{k=1}^{n} f(P_k)*(P_k-P_{k-1}) [/mm] die Summation über alle Schichten k
mit [mm] f(P_k) [/mm] hab ich den Ausdruck im Integral abgekürzt.
Kann man das so sehen?
im Integral nach dP abzuleiten macht wirklich keinen Sinn, weil das ja nur ein Symbol für den Übergang der Summe oben für [mm] (P_k-P_{k-1}) [/mm] gegen 0 ist. erst dann schreibt man das Integral, und es ist natürlich sinnlos von nem Fehler von 0 zu sprechen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Di 02.10.2007 | | Autor: | ell |
Hallo!
Stimmt natürlich, du hast recht, das ganze wird als Summe programmiert und lautet dann:
[mm] I=\summe_{k=1}^{n} f(P_k)^{(n+4)}\cdot{}(P_k-P_{k-1}) =\summe_{k=1}^{n} f(P_k)^{n+4}\cdot{}{P_k} - f{P_k}^{(n+4)}\cdot{}{P_{k-1}} [/mm].
Die Ableitung dieser Summe nach [mm] P_k [/mm] und [mm] P_{k-1} [/mm] lautet dann:
[mm] \bruch{\partial I}{P_k}= \summe_{k=1}^{n} f(P_k)^{(n+4)} [/mm]
bzw.
[mm] \bruch{\partial I}{P_{k-1}}= \summe_{k=1}^{n} - f(P_k)^{(n+4)} [/mm]
Richtig oder Falsch?
Oder muss ich [mm] f(P_k)^{(n+4)} [/mm] nachdifferenzieren? Also auch noch [mm] f(P_k)^{(n+4)} [/mm] nach [mm] P_k [/mm] und [mm] P_{k-1} [/mm] ableiten?? Aber wie? Explizit steht im Integralausdruck bzw. Summenausdruck ja kein [mm] P_k, [/mm] sondern nur ein H (welches eine Funktion von Pk ist).
Heißt das denn dann dass ich [mm] f(P_k)^{(n+4)} [/mm] nach H ableiten muss? und dann H nach Pk? Ich bin nun wirklich komplett verwirrt und steh vermutlich aufn Schlauch. HOffe du bist jetzt nicht völlig von meiner Dummheit erschlagen und hast noch die Energie darauf zu antworten!
Grüße
ell
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Di 02.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Natürlich musst du nach der Produktregel ableiten :
(f(P)*P)'=f(P)*P*f'(P)
Gruss leduart
> [mm]I=\summe_{k=1}^{n} f(P_k)^{(n+4)}\cdot{}(P_k-P_{k-1}) =\summe_{k=1}^{n} f(P_k)^{n+4}\cdot{}{P_k} - f{P_k}^{(n+4)}\cdot{}{P_{k-1}} [/mm].
>
> Die Ableitung dieser Summe nach [mm]P_k[/mm] und [mm]P_{k-1}[/mm] lautet
> dann:
richtig ist:
[mm] $\bruch{\partial I}{P_k}= -f(P_{k-1})^{(n+4)}+f(P_k)^{(n+4)}+P_k*(n+4)f(P_k)^{n+3}*f'(P_K)-P_{k-1}*(n+4)f(P_k)^{n+3}*f'(P_K)$ [/mm]
die anderen Summanden fallen bei Differenzieren ja weg, weil kein [mm] P_k [/mm] drinsteht.
nach [mm] P_{k-1} [/mm] dasselbe, nur überall k durch k-1 ersetzen.
[mm] f(P_k)=f(H(P_k)) [/mm] musst du dabei natürlich nach der Kettenregel ableiten! also [mm] f'(P_k)=f'(H)*H'
[/mm]
Gruss leduart.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Di 02.10.2007 | | Autor: | ell |
Hi leduart!
Vielen Dank! Jetzt ist mir einiges klar geworden, dennoch hätte ich noch eine Unklarheit:
Deine Ableitung:
$ [mm] \bruch{\partial I}{P_k}= -f(P_{k-1})^{(n+4)}+f(P_k)^{(n+4)}+P_k\cdot{}(n+4)f(P_k)^{n+3}\cdot{}f'(P_K)-P_{k-1}\cdot{}(n+4)f(P_k)^{n+3}\cdot{}f'(P_K) [/mm] $
kann ich ja fast nachvollziehen. Versteh bloß nicht wie du auf den ersten Faktor [mm] $-f(P_{k-1})^{(n+4)}$ [/mm] kommst? Müsste der denn nicht [mm] $f(P_k)^{(n+4)}$ [/mm] lauten?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Di 02.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi leduart!
>
> Vielen Dank! Jetzt ist mir einiges klar geworden, dennoch
> hätte ich noch eine Unklarheit:
>
> Deine Ableitung:
>
> [mm]\bruch{\partial I}{P_k}= -f(P_{k-1})^{(n+4)}+f(P_k)^{(n+4)}+P_k\cdot{}(n+4)f(P_k)^{n+3}\cdot{}f'(P_K)-P_{k-1}\cdot{}(n+4)f(P_k)^{n+3}\cdot{}f'(P_K)[/mm]
>
> kann ich ja fast nachvollziehen. Versteh bloß nicht wie du
> auf den ersten Faktor [mm]-f(P_{k-1})^{(n+4)}[/mm] kommst? Müsste
> der denn nicht [mm]f(P_k)^{(n+4)}[/mm] lauten?
Nein, leduart hat sich nur vertippt, der Term muss [mm]-f(P_{k+1})^{(n+4)}[/mm] lauten. Er entsteht aus dem Produkt [mm]\summe_{i=1}^n -P_{i-1}*f(P_i)^{(n+4)}[/mm]. Die Ableitung nach [mm]P_k[/mm] ergibt wegen [mm]\bruch{dP_i}{dP_k} = \delta_{i,k}[/mm]:
[mm]\summe_{i=1}^n \left(- \delta_{k,i-1}*f(P_i)^{(n+4)} - P_{i-1}*(n+4)f(P_i)^{(n+3)} * f'(P_i) * \delta_{i,k}\right) = -f(P_{k+1})^{(n+4)} - P_{k-1} f(P_k)^{(n+3)} * f'(P_k)[/mm]
(außer für k=n, wo der erste Term wegfällt).
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Di 09.10.2007 | | Autor: | ell |
Hallo!
sorry, dass ich mich erst jetzt melde! Musste da etwas länger überlegen, dennoch schafft mir der der erste Term
[mm] $-f(P_{k-1})^{(n+4)}$ [/mm] bzw. [mm] $-f(P_{k+1})^{(n+4)}$ [/mm] (wie Rainer meint)
immer noch Kopfzerbrechen.
[mm] $f(P_k)$ [/mm] war doch nur eine "Abkürzung" für den Ausdruck im Integral bzw. in der Klammer! Wie soll ich denn dann [mm] $f(P_{k+1})$ [/mm] berechnen? Bzw. was soll das heißen?
Grüße
ell
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Di 09.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo ell!
> Hallo!
>
> sorry, dass ich mich erst jetzt melde! Musste da etwas
> länger überlegen, dennoch schafft mir der der erste Term
>
> [mm]-f(P_{k-1})^{(n+4)}[/mm] bzw. [mm]-f(P_{k+1})^{(n+4)}[/mm] (wie Rainer
> meint)
>
> immer noch Kopfzerbrechen.
>
> [mm]f(P_k)[/mm] war doch nur eine "Abkürzung" für den Ausdruck im
> Integral bzw. in der Klammer! Wie soll ich denn dann
> [mm]f(P_{k+1})[/mm] berechnen? Bzw. was soll das heißen?
Summe oder Integral? Du musst dich mal entscheiden.
Dein Problem ist vermutlich die unsaubere Schreibweise:
[mm] I=\summe_{k=1}^{n} f(P_k)^{(n+4)}\cdot{}(P_k-P_{k-1}) [/mm].
Wenn du nach [mm]P_k[/mm] ableiten willst, musst du einen anderen Summationsindex wählen, und dann ist:
[mm]
\bruch{\partial I}{\partial P_k} = \bruch{\partial}{\partial P_k} \left(\summe_{i=1}^{n} f(P_i)^{n+4}\cdot{}{P_i} - \summe_{i=1}^{n}f(P_i)^{(n+4)}\cdot{}{P_{i-1}} \right) [/mm].
Bei der Ableitung der Summe bleibt nur der Term mit [mm]P_k[/mm] übrig, zum Beispiel:
[mm]\summe_{i=1}^n \bruch{\partial}{\partial P_k} \left(f(P_i)^{(n+4)}\cdot{}{P_{i-1}} \right) = \summe_{i=1}^n \left( \bruch{\partial f(P_i)^{(n+4)}}{\partial P_k} P_{i-1} + f(P_i)^{(n+4)} \bruch{\partial P_{i-1}}{\partial P_k} \right) = \bruch{\partial f(P_k)^{(n+4)}}{\partial P_{k}} + f(P_{k+1})^{(n+4)}[/mm],
weil [mm]\bruch{\partial P_{i-1}}{\partial P_k} = 0 \quad\text{für $i-1\not=k$}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
