Ableitung einer wurzelfunktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
hi,
ich habe die kurvenschar [mm] f(x)=(a-x)*\wurzel{x}.
[/mm]
wir sollen diese funktion auf nullstellen und extrema untersuchen. meine nullstellen liegen bei (0/0) und (a/0).
probleme habe ich bei der 1. ableitung beim zusammenfassen, so dass ich danach problemlos die 2. ableitung und extrema bestimmen kann.
also soweit bin ich gekommen:
[mm] f(x)=(a-x)*\wurzel{x}
[/mm]
[mm] f(x)=(a-x)*x^{0,5}
[/mm]
[mm] f´(x)=-1*x^{0,5}+(a-x)*0,5x^{-0,5}
[/mm]
[mm] f´(x)=-x^{0,5}+0,5ax^{-0,5}-0,5x^{0,5}
[/mm]
[mm] f´(x)=-\wurzel{x}+ \bruch{1}{\wurzel{0,5ax}}-\wurzel{0,5x}
[/mm]
|
|
| |
|
Hallo anni-1986,
> [mm]f(x)=(a-x)*\wurzel{x}[/mm]
> [mm]f(x)=(a-x)*x^{0,5}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=-1*x^{0,5}+(a-x)*0,5x^{-0,5}[/mm]
> [mm]f'(x)=-x^{0,5}+0,5ax^{-0,5}-0,5x^{0,5}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Bis hierher ist's richtig. Dann hast Du die 0,5 mit in die Wurzel reingenommen.
zum einfacheren Bestimmen der Extremstellen bietet es sich an einen Bruch draus zu machen.
[mm]f'(x)=-x^{0,5}+0,5ax^{-0,5}-0,5x^{0,5}[/mm]
[mm]f'(x)=\bruch{-x+0,5a-0,5x}{\wurzel{x}}[/mm]
Kannst ja mal damit probieren.
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
hi,
bin mir nicht so sicher, ob das stimmt. kann man die funktion, wie julius es vorschlägt, so schreiben? komme nicht auf die ergebnisse. vielleicht liegt es doch an der funktion (1. ableitung)??
gruß anni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 So 17.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anni,
das stimmt schon, was mathemaduenn da geschrieben hat.
Man kann diesen Ausdruck aber noch etwas weiter zusammenfassen!
Wie lautet denn Dein Ergebnis?
Bis hierher wart Ihr Euch ja noch einig, oder?
[mm]f'(x) \ = \ -x^{0,5}+0,5ax^{-0,5}-0,5x^{0,5}[/mm]
Die beiden Terme mit [mm]x^{0,5}[/mm] fasse ich jetz mal zusammen:
[mm]f'(x) \ = \ 0,5ax^{-0,5}-1,5x^{0,5}[/mm]
[mm]f'(x) \ = \ \bruch{1}{2}*a*\bruch{1}{x^{0,5}} - \bruch{3}{2}*\wurzel{x}[/mm]
[mm]f'(x) \ = \ \bruch{a}{2*\wurzel{x}} - \bruch{3}{2}*\wurzel{x}[/mm]
Um - wie von mathemaduenn vorgeschlagen - alles auf einen Bruch schreiben zu können, muß ich den 2. Term mit [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] erweitern:
[mm]f'(x) \ = \ \bruch{a}{2*\wurzel{x}} - \bruch{3*\wurzel{x}}{2}*\bruch{\wurzel{x}}{\wurzel{x}}[/mm]
[mm]f'(x) \ = \ \bruch{a}{2*\wurzel{x}} - \bruch{3*x}{2}{\wurzel{x}}[/mm]
[mm]f'(x) \ = \ \bruch{a - 3x}{2*\wurzel{x}}[/mm]
Fertig!
Auf dieses Ergebnis kommst Du auch, wenn Du mathemaduenn's Ergebnis nimmst und im Zähler zusammenfaßt sowie anschließend mit 2 erweiterst:
[mm]f'(x) \ = \ \bruch{-x+0,5a-0,5x}{\wurzel{x}} \ = \ \bruch{0,5a-1,5x}{\wurzel{x}} \ = \ \bruch{(0,5a-1,5x)*2}{2*\wurzel{x}} \ = \ \bruch{a-3x}{2*\wurzel{x}}[/mm]
Nun alle Klarheiten beseitigt?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:30 So 17.04.2005 | | Autor: | anni-1986 |
Hi,
ich brauche einen Ansatz bei dieser Aufgabe:
Die Normale der Kurvenschar im Punkt [mm] P[u/(a-u)*\wurzel{u}] [/mm] schneidet die x-Achse in Sx(x/0). Bestimme die Funktionsgleichung der Normalen und deren Schnittstellen mit der x-Achse. Welchen Wert nimmt x an, wenn u gegen 0 strebt?
Ich weiss, dass bei der Normalen die Steigung der negative Kehrwert ist. Und die Nullstellen der Kurvenschar, die ich schon berechnet habe, liegen bei (0/0) und (a/0).
Was muss ich machen?
Gruß anni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 So 17.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Anni
> Hi,
>
> ich brauche einen Ansatz bei dieser Aufgabe:
>
> Die Normale der Kurvenschar im Punkt [mm]P[u/(a-u)*\wurzel{u}][/mm]
> schneidet die x-Achse in Sx(x/0). Bestimme die
> Funktionsgleichung der Normalen und deren Schnittstellen
> mit der x-Achse. Welchen Wert nimmt x an, wenn u gegen 0
> strebt?
>
> Ich weiss, dass bei der Normalen die Steigung der negative
> Kehrwert ist. Und die Nullstellen der Kurvenschar, die ich
> schon berechnet habe, liegen bei (0/0) und (a/0).
>
> Was muss ich machen?
>
Nun, du kennst ja die Steigung der Funktion im Punkt [mm] $(u/(a-u)*\wurzel{u})$
[/mm]
Die ist ja so: (1. Ableitung)
[mm] $\bruch{a-3u}{2*\wurzel{u}}$
[/mm]
Das habe ich jetzt nicht überprüft, ich habs einfach aus Loddars Antwort übernommen! Loddar hat aber in aller Regel recht! Mindestens meistens! 
Und jetzt hast du richtig erkannt, dass die Steigung der Normalen der negative Kehrwert der Steigung selber ist.
Also sollte die Steigung der Normalen doch diesen Wert haben:
[mm] $\bruch{2*\wurzel{u}}{3u-a}$
[/mm]
Deine Aufgabe ist es jetzt also, eine Geradengleichung aufzustellen. Diese Gerade muss durch den Punkt [mm] $(u/(a-u)*\wurzel{u})$ [/mm] gehen und die soeben berechnete Steigung haben.
Sodann schneidest du diese Gerade mit der x-Achse, um Sx zu erhalten.
Dann noch überlegen, wo Sx liegen muss, wenn u gegen null strebt.
Hilft dir das jetzt ein Wenig weiter? 
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
|
