Ableitung einer Integralfkt < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Mo 02.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
| Aufgabe | | Sei $ [mm] g(x):=exp(\integral_{0}^{x}{e^{-t^{2}}}). [/mm] $ Geben Sie den maximalen Definitionsbereich in $ [mm] \IR [/mm] $ an und bestimmen sie die 1. Ableitung. |
Ich habe leider keinen Ansatz, wie ich eine solche Aufgabe angehen kann.
Vielleicht hilft dieses hier :
Haupt-/Lehrsatz : Jede Integralfunktion einer stetigen Funktion ist differenzierbar. Die Ableitung ist gleich dem Wert des Integranden an der oberen Grenze.
Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation bzw. umgekehrt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Mo 02.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]g(x):=exp(\integral_{0}^{x}{e^{-t^{2}}}).[/mm] Geben Sie den
> maximalen Definitionsbereich in [mm]\IR[/mm] an und bestimmen sie
> die 1. Ableitung.
> Ich habe leider keinen Ansatz, wie ich eine solche Aufgabe
> angehen kann.
>
> Vielleicht hilft dieses hier :
>
> Haupt-/Lehrsatz : Jede Integralfunktion einer stetigen
> Funktion ist differenzierbar. Die Ableitung ist gleich dem
> Wert des Integranden an der oberen Grenze.
Ja, das hilft. Was ist also die Ableitung von [mm] g(x):=\integral_{0}^{x}{e^{-t^{2}} dt} [/mm] ?
FRED
>
> Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation bzw.
> umgekehrt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Mo 02.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
$ [mm] g(x):=\integral_{0}^{x}{e^{-t^{2}} dt} [/mm] $ = [mm] e^{x^2} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Mo 02.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]g(x):=\integral_{0}^{x}{e^{-t^{2}} dt}[/mm] = [mm]e^{x^2}[/mm] ?
Unfug !
Es ist [mm] g'(x)=e^{-x^{2}}
[/mm]
FRED
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Mo 02.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Pardon. Das Minuszeichen nicht beachtet.
Aber wie hilft mir das für meine Aufgabe weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Mo 02.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Wäre die Lösung für die Aufgabe folgendes ? :
Aus dem HDI folgt, dass die Ableitung von
[mm] $\integral_{0}^{x}{e^{-t^{2}} dt} [/mm] $ = [mm] e^{-x^2} [/mm] ist
daraus folgt :
[mm] exp(-x^2+\integral_{0}^{x}{e^{-t^{2}}dt})
[/mm]
?
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Hi,
> Wäre die Lösung für die Aufgabe folgendes ? :
>
> Aus dem HDI folgt, dass die Ableitung von
>
> [mm]\integral_{0}^{x}{e^{-t^{2}} dt}[/mm] = [mm]e^{-x^2}[/mm] ist
>
> daraus folgt :
>
> [mm]exp(-x^2+\integral_{0}^{x}{e^{-t^{2}}dt})[/mm]
Häh? Wie wo was?
Du hattest die Funktion [mm] f(x)=\exp\left(\integral_{0}^{x}{e^{-t^{2}} dt}\right) [/mm] gegeben.
Fred hatte definiert: [mm] g(x):=\integral_{0}^{x}{e^{-t^{2}}dt}
[/mm]
Die Ableitung von g(x) hast du ja bereits bestimmt.
Du hast also [mm] f(x)=\exp(g(x))
[/mm]
Wie ist nun die Ableitung von f(x)? Kettenregel angewandt und man hat:
[mm] f'(x)=g'(x)*\exp(g(x))
[/mm]
Jetzt nur noch "plump" einsetzen.
>
> ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Mo 02.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Eigentlich sollte dies mein Term genau darstellen oder ich hab gerade ein Brett vor dem Kopf und verstehe momentan etwas nicht ganz richtig :
da [mm] e^{a}*e^{b}=e^{a+b} [/mm] gilt, dachte ich, dass ich auch f'(x) nach dem Einsetzen auch so zusammenfassen könnte.
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> Eigentlich sollte dies mein Term genau darstellen oder ich
> hab gerade ein Brett vor dem Kopf und verstehe momentan
> etwas nicht ganz richtig :
>
> da [mm]e^{a}*e^{b}=e^{a+b}[/mm] gilt, dachte ich, dass ich auch
> f'(x) nach dem Einsetzen auch so zusammenfassen könnte.
Ja, das ist kein Problem. Ich habe deine Aussage falsch gedeutet. Ich dachte du hast aus der Ableitung der Integralfunktion den komischen Zusammenhang mit [mm] -x^2 [/mm] gewonnen.
Pardon für das Missverständnis!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mo 02.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Ist schon ok. War auch etwas unverständlich hingeschrieben.
Kann ich das dann als Lösung der Aufgabe so hinschreiben?
Gegeben :
$ [mm] f(x)=\exp(g(x)) [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] f'(x)=g'(x)\cdot{}\exp(g(x)) [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] g'(x)=$ [mm] e^{-x^2} [/mm] $ , da aus dem HDI folgt, dass die Ableitung eines Integrals gleich dem
Wert des Integranden an der oberen Grenze ist.
Lediglich einsetzen und zusammenfassen und als Lösung noch :
$ [mm] e^{-x^2} [/mm] $ * [mm] exp(\integral_{0}^{x}{e^{-t^{2}}dt} [/mm] $ [mm] )=\integral_{0}^{x}{e^{-t^{2}}dt} [/mm] $
[mm] \gdw [/mm] $ [mm] exp(-x^2+\integral_{0}^{x}{e^{-t^{2}}dt}) [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Mo 02.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Kann ich das dann als Lösung der Aufgabe so hinschreiben?
>
> Gegeben :
>
> [mm]f(x)=\exp(g(x))[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f'(x)=g'(x)\cdot{}\exp(g(x))[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] g'(x)=[mm] e^{-x^2}[/mm] , da aus dem HDI folgt, dass
> die Ableitung eines Integrals gleich dem
> Wert des Integranden an der oberen Grenze ist.
>
> Lediglich einsetzen und zusammenfassen und als Lösung noch
> :
>
> [mm]e^{-x^2}[/mm] * [mm]exp(\integral_{0}^{x}{e^{-t^{2}}dt}[/mm]
bis hier richtig das nächste = ist falsch, außerdem sokkte ma e hoch und exp() nicht in einer Formel verwenden,
> [mm])=\integral_{0}^{x}{e^{-t^{2}}dt}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] [mm]exp(-x^2+\integral_{0}^{x}{e^{-t^{2}}dt})[/mm]
richtig aber einfacher zu sehen ist es als Produkt
[mm] exp{-x^2}*exp(\integral_{0}^{x}{e^{-t^{2}}dt})
[/mm]
>
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Mo 02.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Perfekt. Ich danke!
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