Ableitung einer Exponentialfun < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich schreibe morgen eine LK-Mathe Klausur und bekomme folgende Aufgabe nicht hin:
f(x)= [mm] (e^3*x-e^2*x+e^-x+1)/e^x
[/mm]
Bestimme die erste und zweite Ableitung.
Das Lösungsblatt hat der Lehrer uns kopeirt, aber ich bekomme immer etwas anderes raus.
Es wäre sehr nett, wenn ihr den Lösungsweg mitschrieben könntet...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Außerdem wäre es nett, wenn ihr den Lösungsweg zur ersten Ableitung folgender Funktion nennen könntet.
f(x)= [mm] (e^x)/(1+e^x)^2
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Mo 18.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo tricia
> Hallo!
> Ich schreibe morgen eine LK-Mathe Klausur und bekomme
> folgende Aufgabe nicht hin:
> f(x)= [mm](e^3*x-e^2*x+e^{-x}+1)/e^x[/mm]
ich nehme an, es handelt sich um
f(x)= [mm](e^{3*x}-e^{2*x}+e^-x+1)/e^x[/mm]
1. Quotienten regel, die solltest du kennen.
darin Zähler [mm] $u'=3e^{3*x}-2e^{2*x}-e^{-x}$
[/mm]
und dann Nenner: [mm] $v'=e^{x}$
[/mm]
Dann schreib mal, was du raus hast, und wir korrigieren, dabei lernst du mehr, als wenn du die komplette Lösung hast.
bei deiner 2. Funktion musst du beim Nenner nach Kettenregel ableiten:
$ [mm] (e^x)/(1+e^x)^2 [/mm] $ [mm] $u'=e^x$ [/mm] $ [mm] v'=2*(1+e^x)*e^x$
[/mm]
Und jetzt wieder Quotientenregel
Gruss leduart
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Also:
f'(x)= (3*e^(3*x)-2*e^(2*x)-e^(-x))*e^(-x)+((e^(3*x)-e^(2*x)+e^(-x)+1))*-e^(-x)
= e^(-x)*(3*e^(3*x)-2*e^(2*x)-e^(-x)-e^(3*x)+e^(2*x)-e^(-x)-1)
=e^(-x)*(2*e^(3*x)-e^(2*x)-2*e^(-x)-1)
Bei der anderen Funktion komme ich soweit:
f'(x)= [mm] e^x*(e^x+1)^2-2*e^{2*x}*(e^x+1)
[/mm]
= [mm] e^x*(e^{2*x}+2*e^x+1)-2*e^{3*x}+2*e^x
[/mm]
= [mm] e^{3*x}+2*e^{2*x}+e^x-2*e^{3*x}+2*e^x
[/mm]
[mm] =-e^{3*x}+2*e^{2*x}+3*e^x
[/mm]
Und bei allen Schritten noch [mm] /(e^x+1)^4 [/mm] denken.
Bei beiden steht aber etwas anderes in der Lösung:
Bei Funktion eins:
[mm] f'(X)=2*e^{2*x}-e^x-e^{-x}-2*e^{-2*x}
[/mm]
Funktion 2:
f'(X)= [mm] (e^x*(1-e^x))/(e^x+1)^3
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Mo 18.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo tricia
> f'(x)=
> (3*e^(3*x)-2*e^(2*x)-e^(-x))*e^(-x)+((e^(3*x)-e^(2*x)+e^(-x)+1))*-e^(-x)
>
> =
> e^(-x)*(3*e^(3*x)-2*e^(2*x)-e^(-x)-e^(3*x)+e^(2*x)-e^(-x)-1)
> =e^(-x)*(2*e^(3*x)-e^(2*x)-2*e^(-x)-1)
Richtig!
> Bei der anderen Funktion komme ich soweit:
>
> f'(x)= [mm]e^x*(e^x+1)^2-2*e^{2*x}*(e^x+1)[/mm]
hier [mm] $e^{x}*(e^x+1)$ [/mm] ausklammern teilweise kürzen, den Rest nur noch wenig vereinfachen. und du kommst auf die angegebene Kösung.
> = [mm]e^x*(e^{2*x}+2*e^x+1)-2*e^{3*x}+2*e^x[/mm]
> = [mm]e^{3*x}+2*e^{2*x}+e^x-2*e^{3*x}+2*e^x[/mm]
> [mm]=-e^{3*x}+2*e^{2*x}+3*e^x[/mm]
> Und bei allen Schritten noch [mm]/(e^x+1)^4[/mm] denken.
Richtig, aber in einer unübersichtlichen Form.
(das wär in ner Klausur nicht falsch!!
Also verlass dich nur auf dein Können!
Gruss leduart
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Vielen Dank für deine Hilfe!
Wenn die zweite Funktion (trotz ausklammern komme ich nicht auf die Form in der Lösung) richtig ist und nur nicht "zu Ende" vereinfaccht ist, dann bin ich ja schonmal glücklich.
Ich hoffe mal, dass der Lehrer keine allzu Komplizierte Funktion angibt und ich die Ableitungen, die man ja für eine Fuktionsuntersuchung braucht, hinbekomme!!!
Nach ausklammern komme ich auf folgenden Term:
f'(x)=( [mm] e^x*(e^x+1)*((e^x+1)-2*e^x))/(e^x+1)^4
[/mm]
= [mm] ((e^x+1)-2*e^x)/(e^x+1)^3
[/mm]
[mm] =(-e^x+1)/(e^x+1)^3
[/mm]
Und das timmt ja laut Lösung nicht...ich glaub ich bin zu doof zum Ausklammern...wo liegt mein Fehler? (Es ist schon zu spät...)
Alles klar, hat sich erledigt! Hab den Fehler gefunden! Ich habe anstatt nur [mm] (e^x+1) [/mm] wegzukürzen gleich das [mm] *e^x [/mm] mitgekürzt obwohl das ja garnicht geht und dann stimmt mein Ergebnis mit der Lösung überein!!!!
Trotzdem nochmals vielen Dank für deine Hilfe!
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