Ableitung einer 2D-Integration < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Mi 21.05.2008 | | Autor: | cosPhi |
Hi,
Ich habe eine wirklich einfache Frage (Analysis 2 ist schon sehr lange her bei mir) 
Gegeben habe ich eine Funktion mit 2 veränderlichen: [mm] f_{xy}(x,y). [/mm] Konkret handelt es sich dabei um eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun möchte ich die gelb unterlegte Fläche aufintegrieren.
Das funktioniert glaube ich mit
[mm] \integral_{y=0}^{\infty}{ \integral_{x=0}^{y z}{ f_{xy}(x,y) dx}dy}
[/mm]
Stimmt das?
Jedenfalls möchte ich genau dieses Integral nun nach z ableiten. Ich habe wo gelesen dass das Ergebnis davon nun
[mm] \integral_{0}^{\infty}{y f_{xy}(y z,y) dy}
[/mm]
ist.
Kann mir das jemand bestätigen? Und, viel wichtiger(!): Das lässt sich offenbar ohne nähere Kenntnis von [mm] f_{xy} [/mm] herleiten! Wie gehts das und wieso kommt das raus?
Vielen Dank im Vorraus!
lg,
divB
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Mi 21.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deinen Integralen und Grenzen kommt nirgends ein z vor, dein Bild ist nich ladbar, also musst du deinen post nachbessern, um ne Antwort zu kriegen
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Mi 21.05.2008 | | Autor: | cosPhi |
Hi,
Vielen Dank für deine Antwort!
1.) Ups sorry, hab das Bild jetzt direkt reingestellt 
2.) Ja, das ist ja beabsichtigt! Das erste Integral ist ja die Verteilungsfunktion [mm] F_z(z) [/mm] und ich will die Dichtefunktion [mm] f_z(z) [/mm] haben. Also muss noch differenziert werden...
lg,
divB
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Mi 21.05.2008 | | Autor: | cosPhi |
Hi,
muss leider doch noch ne Mitteilung machen...du hattest recht, da war echt kein z zu finden, tut mir leid das hab ich übersehen. Die obere Integrationsgrenze muss natürlich yz statt xy sein! Ich habs jetzt ausgebessert.
lg,
divB
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Hallo,
> Hi,
>
> Ich habe eine wirklich einfache Frage (Analysis 2 ist schon
> sehr lange her bei mir)
>
> Gegeben habe ich eine Funktion mit 2 veränderlichen:
> [mm]f_{xy}(x,y).[/mm] Konkret handelt es sich dabei um eine
> Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Nun möchte ich die gelb unterlegte Fläche aufintegrieren.
>
> Das funktioniert glaube ich mit
>
> [mm]\integral_{y=0}^{\infty}{ \integral_{x=0}^{y z}{ f_{xy}(x,y) dx}dy}[/mm]
>
> Stimmt das?
verstehe nicht so ganz, wie du drauf kommst (auf das yz), aber kann schon sein.
>
> Jedenfalls möchte ich genau dieses Integral nun nach z
> ableiten. Ich habe wo gelesen dass das Ergebnis davon nun
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{y f_{xy}(y z,y) dy}[/mm]
>
> ist.
>
> Kann mir das jemand bestätigen? Und, viel wichtiger(!): Das
> lässt sich offenbar ohne nähere Kenntnis von [mm]f_{xy}[/mm]
> herleiten! Wie gehts das und wieso kommt das raus?
das kann man eigentlich mit analysis-basiskenntnissen herleiten: das aeussere integral laeuft ueber y, z ist also ein parameter und die ableitung nach z kann einfach in das integral hereingezogen werden. nun musst du also das innere integral nach z ableiten, dort steht das z in den int.-grenzen. nach dem hauptsatz der analysis ist
$d/dx [mm] \int_a^x [/mm] f(r) dr=f(x)$
bezeichnet man das unbestimmte integral mit $F(x)$ kann man das auch so schreiben
$d/dx F(x)=f(x)$
steht nun in den grenzen noch eine funktion, musst du einfach die kettenregel anwenden, naemlich
$d/dx [mm] F(g(x))=\ldots$
[/mm]
den rest solltest du alleine hinbekommen...
gruss
matthias
>
> Vielen Dank im Vorraus!
>
> lg,
> divB
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:43 Do 22.05.2008 | | Autor: | cosPhi |
Hi Matthias!
Vielen Dank für deine Antwort! Ich habs jetzt verstanden
Allerdings noch eine kleine Frage...
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> >
> > Nun möchte ich die gelb unterlegte Fläche aufintegrieren.
> >
> > Das funktioniert glaube ich mit
> >
> > [mm]\integral_{y=0}^{\infty}{ \integral_{x=0}^{y z}{ f_{xy}(x,y) dx}dy}[/mm]
> >
> > Stimmt das?
>
> verstehe nicht so ganz, wie du drauf kommst (auf das yz),
> aber kann schon sein.
Schade :( Wie würdest denn du über diese Fläche integrieren?
Ich habe den Lösungsansatz jedenfalls nicht selbst entworfen sondern aus einem Buch (Papoulis: Probability, Random Variables and Stochastic
Processes) mit ähnlicher Aufgabenstellung.
Dabei geht es darum Z=X/Y zu berechnen wobei X und Y jeweils 2 unabhängige ZV sind.
Der Ansatz ist nun
[mm] F_Z(z) [/mm] = P(Z <= z) = P(X/Y <= z)
X <= z*Y wenn Y > 0
X >= z*Y wenn Y < 0
Wenn ich P(X <= z*Y) = P(X >= z*Y) = 1 - P(X <= z*Y) setze, so gilt dies für die Wahrscheinlichkeit in X und Y die durch die Gerade z getrennt sind.
Fordere ich zusätzlich, dass meine Verteilung nur für x > 0 definiert ist, so bleibt meiner Meinung nach nur das gelb unterlegte übrig. Und dieses lässt sich durch die o.g. Formel berechnen.
Ist der Gedankengang jetzt nachvollziehbar? Leider bin ich mir noch immer nicht 100% sicher ob das Integral dazu korrekt ist :(
lg,
divB
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Hallo,
> Hi Matthias!
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> Vielen Dank für deine Antwort! Ich habs jetzt verstanden
>
> Allerdings noch eine kleine Frage...
>
> > > [Dateianhang nicht öffentlich]
> > >
> > > Nun möchte ich die gelb unterlegte Fläche aufintegrieren.
> > >
> > > Das funktioniert glaube ich mit
> > >
> > > [mm]\integral_{y=0}^{\infty}{ \integral_{x=0}^{y z}{ f_{xy}(x,y) dx}dy}[/mm]
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> > >
> > > Stimmt das?
> >
> > verstehe nicht so ganz, wie du drauf kommst (auf das yz),
> > aber kann schon sein.
>
> Schade :( Wie würdest denn du über diese Fläche
> integrieren?
>
ok, ich versuche mal, deinen ansatz zu verstehen: wie ist denn genau die gerade definiert, die in deiner skizze mit yz bezeichnet ist? soll das die gerade $x=yz$ sein mit parameter z? mir ist ziemlich unklar, was das z sein soll, wo doch die skizze nur den [mm] R^2 [/mm] zeigt, oder? Ist es die gerade $x=yz$ dann muesste sie allerdings durch den nullpunkt laufen...
gruss
matthias
PS: von W-theorie verstehe ich leider nicht sehr viel, da kann ich dir nicht helfen.
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