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Ableitung e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:26 Mi 31.01.2007
Autor: belimo

Aufgabe
Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:

k) [mm] f(t)=e^{\bruch{3}{t^{2}}} [/mm]

Hallo Leute

Ich weiss, dass die Ableitung von [mm] e^{x} [/mm] wiederum [mm] e^{x} [/mm] ist. Nun steht das dummerweise noch dieses [mm] t^{2} [/mm] im Exponent von e.

Daraus folgt meiner Meinung nach, dass die MBKettenregel zur Anwendung kommen sollte. Nur fehlt mir gerade die Fähigkeit diese richtig anzuwenden? Vielleicht könnte mir jemand von euch für den allgemeinen Fall mal ein Tipp geben? Vielen Dank!

Gruss belimo

        
Bezug
Ableitung e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:39 Mi 31.01.2007
Autor: M.Rex

Hallo

Generell gilt ga für die Ableitung von verketteten Funktionen f(g(x)).

f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)

Also hier:

[mm] f(y)=e^{y} [/mm]
[mm] g(t)=\bruch{3}{t²}=3t^{-2} [/mm]

Also:

[mm] f'(y)=e^{y} [/mm]
[mm] g'(t)=-6t^{-3}=\bruch{-6}{t³} [/mm]

Also:

[mm] e^{\bruch{3}{t²}}'=\underbrace{e^{\bruch{3}{t²}}}_{f'(g(t))}*\underbrace{\bruch{-6}{t³}}_{g'(t)} [/mm]

Marius


Bezug
                
Bezug
Ableitung e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 Mi 31.01.2007
Autor: belimo

Aufgabe
Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktion:

[mm] f(z)=\wurzel{\bruch{z+1}{z-1}} [/mm]

Super danke, stimmt genau ;-) Ich habe sogar selber rausgefunden, wie du auf [mm] g(t)=\bruch{3}{t²}=3t^{-2} [/mm] gekommen bist **stolzbin** (Quotientenregel).

Ich habe (vgl. Aufgabe) gleich noch ein weiteres Ableitungsproblem:

[mm] f'(z)=\bruch{1}{2*\wurzel{\bruch{z+1}{z-1}}}*\bruch{-2}{(z-1)^{2}} [/mm] (Mein Versuch)

Jetzt komme ich da aber nicht mehr weiter. Ich habe nämlich mal das Resultat gespickt und das soll lauten:

[mm] \bruch{1}{(1-z)*\wurzel{z^{2}-1}} [/mm]

Und irgendwie kommt mir das so gar nicht ähnlich vor ;-( Danke für die Unterstützung.

Gruss belimo

Bezug
                        
Bezug
Ableitung e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Mi 31.01.2007
Autor: M.Rex

Hallo

> Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktion:
>  
> [mm]f(z)=\wurzel{\bruch{z+1}{z-1}}[/mm]
>  Super danke, stimmt genau ;-) Ich habe sogar selber
> rausgefunden, wie du auf [mm]g(t)=\bruch{3}{t²}=3t^{-2}[/mm]
> gekommen bist **stolzbin** (Quotientenregel).

Muss dich leider enttäuschen, hier brauchst du die Quotientenregel nicht, nur die Regel: [mm] f(x)=x^{n} f'(x)=nx^{n-1} [/mm]

>  
> Ich habe (vgl. Aufgabe) gleich noch ein weiteres
> Ableitungsproblem:
>  

>

[mm] f'(z)=\bruch{1}{2*\wurzel{\bruch{z+1}{z-1}}}*\bruch{-2}{(z-1)^{2}} [/mm]

Korrekt

> (Mein Versuch)
>  
> Jetzt komme ich da aber nicht mehr weiter. Ich habe nämlich
> mal das Resultat gespickt und das soll lauten:
>  
> [mm]\bruch{1}{(1-z)*\wurzel{z^{2}-1}}[/mm]

Jetzt mal auf einen Bruch schreiben:

[mm] \bruch{1*(-2)}{{2*\wurzel{\bruch{z+1}{z-1}}}*(z-1)²} [/mm]
[mm] =\bruch{-1}{\bruch{\wurzel{z+1}}{\wurzel{z-1}}*(z-1)²} [/mm]
[mm] =\bruch{-\wurzel{z-1}}{\wurzel{z+1}(z-1)²} [/mm]
[mm] =\bruch{-\wurzel{z-1}*\wurzel{z-1}}{\wurzel{z+1}*\wurzel{z-1}(z-1)²} [/mm]
[mm] =\bruch{-(z-1)}{\wurzel{(z+1)(z-1)}(z-1)²} [/mm]
[mm] =\bruch{-1}{\wurzel{z²-1}(z-1)} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{-(z-1)\wurzel{z²-1}} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{(-z+1)\wurzel{z²-1}} [/mm]

>  
> Und irgendwie kommt mir das so gar nicht ähnlich vor ;-(
> Danke für die Unterstützung.
>  
> Gruss belimo

Marius

Bezug
                                
Bezug
Ableitung e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:30 Mi 31.01.2007
Autor: belimo


> Muss dich leider enttäuschen, hier brauchst du die
> Quotientenregel nicht, nur die Regel: [mm]f(x)=x^{n} > f'(x)=nx^{n-1}[/mm]

Ne, ich will ja am Schluss [mm] \bruch{-6}{t^{3}}. [/mm] Und dafür brauch ich doch die Quotientenregel?

> [mm]=\bruch{-\wurzel{z-1}*\wurzel{z-1}}{\wurzel{z+1}*\wurzel{z-1}(z-1)²}[/mm]
>  [mm]=\bruch{-(z-1)}{\wurzel{(z+1)(z-1)}(z-1)²}[/mm]
>  [mm]=\bruch{-1}{\wurzel{z²-1}(z-1)}[/mm]
>  [mm]=\bruch{1}{-(z-1)\wurzel{z²-1}}[/mm]
>  [mm]=\bruch{1}{(-z+1)\wurzel{z²-1}}[/mm]

Wahnsinn, dass du das einfach so aus dem Handgelenk hinschreiben kannst ;-) Hut ab [cap] ;-)

Danke für die Erklärungen!

Gruss belimo


Bezug
                                        
Bezug
Ableitung e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:26 Do 01.02.2007
Autor: Bastiane

Hallo belimo!

> > Muss dich leider enttäuschen, hier brauchst du die
> > Quotientenregel nicht, nur die Regel: [mm]f(x)=x^{n} > f'(x)=nx^{n-1}[/mm]
>  
> Ne, ich will ja am Schluss [mm]\bruch{-6}{t^{3}}.[/mm] Und dafür
> brauch ich doch die Quotientenregel?

Naja, wenn du [mm] 3t^{-2} [/mm] einfach so stehen lässt, kannst du direkt die MBPotenzregel anwenden. Aber mit der Quotientenregel geht's natürlich auch. ;-)

> [mm]=\bruch{-\wurzel{z-1}*\wurzel{z-1}}{\wurzel{z+1}*\wurzel{z-1}(z-1)²}[/mm]
>  >  [mm]=\bruch{-(z-1)}{\wurzel{(z+1)(z-1)}(z-1)²}[/mm]
>  >  [mm]=\bruch{-1}{\wurzel{z²-1}(z-1)}[/mm]
>  >  [mm]=\bruch{1}{-(z-1)\wurzel{z²-1}}[/mm]
>  >  [mm]=\bruch{1}{(-z+1)\wurzel{z²-1}}[/mm]
>  
> Wahnsinn, dass du das einfach so aus dem Handgelenk
> hinschreiben kannst ;-) Hut ab [cap] ;-)

Na, wer weiß, ob das so einfach aus dem Handgelenk war. Vielleicht war auch ein Schmierzettel ein kleiner Zwischenstop. ;-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
                                                
Bezug
Ableitung e-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:22 Do 01.02.2007
Autor: M.Rex


> Hallo belimo!
>  
> > > Muss dich leider enttäuschen, hier brauchst du die
> > > Quotientenregel nicht, nur die Regel: [mm]f(x)=x^{n} > f'(x)=nx^{n-1}[/mm]
>  
> >  

> > Ne, ich will ja am Schluss [mm]\bruch{-6}{t^{3}}.[/mm] Und dafür
> > brauch ich doch die Quotientenregel?
>  
> Naja, wenn du [mm]3t^{-2}[/mm] einfach so stehen lässt, kannst du
> direkt die MBPotenzregel anwenden. Aber mit der
> Quotientenregel geht's natürlich auch. ;-)
>  
> >
> [mm]=\bruch{-\wurzel{z-1}*\wurzel{z-1}}{\wurzel{z+1}*\wurzel{z-1}(z-1)²}[/mm]
>  >  >  [mm]=\bruch{-(z-1)}{\wurzel{(z+1)(z-1)}(z-1)²}[/mm]
>  >  >  [mm]=\bruch{-1}{\wurzel{z²-1}(z-1)}[/mm]
>  >  >  [mm]=\bruch{1}{-(z-1)\wurzel{z²-1}}[/mm]
>  >  >  [mm]=\bruch{1}{(-z+1)\wurzel{z²-1}}[/mm]
>  >  
> > Wahnsinn, dass du das einfach so aus dem Handgelenk
> > hinschreiben kannst ;-) Hut ab [cap] ;-)
>  
> Na, wer weiß, ob das so einfach aus dem Handgelenk war.
> Vielleicht war auch ein Schmierzettel ein kleiner
> Zwischenstop. ;-)

Hallo.

Ohne Schmierzettel geht das nicht, aber wenn man weiss, wo man "hin" will, ist das grösste Problem schonmal gelöst.


>  
> Viele Grüße
>  Bastiane
>  [cap]

Marius

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