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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Ableitung e-Funktion
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Ableitung e-Funktion: Frage zu Ableitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 Mo 09.01.2006
Autor: azrax

Aufgabe
Erste Ableitung für f(x)= 10x*e^(-0.5x²)

Könnte mir jemand Schritt für Schritt erklären wie ich diese Funktion Ableite?

Viele Grüße

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Ableitung e-Funktion: Produkt- und Kettenregel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 Mo 09.01.2006
Autor: Loddar

Hallo azrax,

[willkommenmr] !!


Bei dieser Funktion musst Du sowohl mit der MBProduktregel als auch mit der MBKettenregel arbeiten.


$f(x) \ = \ [mm] \underbrace{10x}_{=u}*\underbrace{e^{-0.5x^2}}_{=v}$ [/mm]

$u \ = \ 10x$     [mm] $\Rightarrow$ [/mm]     $u' \ = \ 10$

$v \ = \ [mm] e^{-0.5x^2}$ [/mm]

Und hier müssen wir für $v'_$ nun die MBKettenregel anwenden, da im Exponenten der e-Funktion nicht nur $x_$ steht, sondern ein anderer Term.

Die MBKettenregel lautet (verbal):

"äußere Ableitung" mal "innere Ableitung"


Die äußere Funktion ist die e-Funktion mit [mm] $e^{(...)}$ [/mm] .

äußere Ableitung: [mm] $\left[ \ e^{(...)} \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] e^{(...)}$ [/mm]


Die innere Funktion lautet $(...) \ = \ [mm] -0.5*x^2$ [/mm] .

Das können wir auch ableiten zu ...

innere Ableitung: $(...)' \ =\ [mm] \left[ \ -0.5*x^2 \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] -0.5*2*x^1 [/mm] \ = \ -x$


Dies packen wir nun zusammen zu:

$v' \ = \ [mm] \left[ \ e^{(...)} \ \right]' [/mm] * (...)' \ =\ [mm] e^{-0.5*x^2}*(-x) [/mm] \ =\ [mm] -x*e^{-0.5*x^2}$ [/mm]


Und dies setzen wir nun ein in die MBProduktregel:

[mm] $\left( \ u*v \ \right)' [/mm] \ = \ u'*v + u*v'$


Was erhältst Du nun?


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Ableitung e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:57 Di 10.01.2006
Autor: azrax

Hallo,

Schonmal vielen Dank für deine Antwort.

nach den folgenden Regeln erhalte ich 10*e^(-0.5x²)-10²*e^(-0.5x²) was dann f'(x)= 10*(1-x²)*e^(-0.5x²) ergibt. Sollte korrekt sein?
und als 2. Ableitung komm ich auf [mm] f''(x)=-10x*(2x^3-6x)*e^(-0.5x²)[/mm]
Bezug
                        
Bezug
Ableitung e-Funktion: Korrektur zur 2. Ableitung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Di 10.01.2006
Autor: Loddar

Hallo azrax!


> f'(x)=10*(1-x²)*e^(-0.5x²)

[daumenhoch] Richtig!


> und als 2. Ableitung komm ich auf
> [mm]f''(x)=-10x*(2x^3-6x)*e^(-0.5x²)[/mm]  

[notok] Bitte rechne hier nochmal nach.

In der Klammer erhalte ich: $f''(x) \ = \ [mm] -10x*\left(\red{3-x^2}\right)*e^{-0.5x^2}$ [/mm]


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Ableitung e-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 Mi 11.01.2006
Autor: s.nahrhold

darf ich fragen, wie ihr auf die zweite ableitung kommt? ich hab grad keine ahnung!
danke
Bezug
                                        
Bezug
Ableitung e-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 Mi 11.01.2006
Autor: Disap


> darf ich fragen, wie ihr auf die zweite ableitung kommt?
> ich hab grad keine ahnung!
>  danke

Mit der MBProduktregel und MBKettenregel und indem man die erste Ableitung noch einmal ableitet. Oder was willst du da genau wissen

(sofern diese stimmt):
[mm] f'(x)=10*(1-x²)*e^{-0.5x²} [/mm]

f''(x) = [mm] -20x*e^{-0.5x²} [/mm] - [mm] x*e^{-0.5x²}*10*(1-x²) [/mm]

[mm] =-20x*e^{-0.5x²} [/mm] - [mm] e^{-0.5x²}*(10x-10x^3) [/mm]

= [mm] e^{-0.5x²} [/mm] (-20x - [mm] 10x+10x^3) [/mm]

= [mm] e^{-0.5x²} (-30x+10x^3) [/mm]

= [mm] 10x*e^{-0.5x²} (-3+x^2) [/mm]

Ist das selbe, wie Loddar auch schon gesagt hat.

$ f''(x) \ = \ [mm] -10x\cdot{}\left(\red{3-x^2}\right)\cdot{}e^{-0.5x^2} [/mm] $

Da "Math. Background: Mathe-Lehrer Sek. II" habe ich mal auf Farben verzichtet ;-)

Schöne Grüße Disap
Bezug
                                                
Bezug
Ableitung e-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:48 Do 12.01.2006
Autor: azrax

Danke, nun bin ich auch auf diese Ableitung gekommen :)
Bezug
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