Ableitung der arccos Fkt < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Sa 02.03.2013 | | Autor: | miggel13 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die erste Ableitung von [mm] f(x)=arccos(x^2-2x) [/mm] |
Hallo,
mein Problem ist, dass ich nicht (genau) mathematisch nachvollziehen kann, warum ich bei der ersten Ableitung eine abschnittsweis definierte Funktion herausbekomme.
[mm] f'(x)=\bruch{-1}{\wurzel{1-(x^2-2x)^2}}*(2x-2)
[/mm]
Nach etwas Umformung bekomme ich als Ergebnis:
[mm] f'(x)=\bruch{-2}{\wurzel{-x^2+2x+1}} [/mm]
Im Prinzip ist mir klar, dass f'(x) an der Stelle 1 nicht differenzierbar ist, da ich ja ansonsten durch 0 teilen würde. Wie komme oder berechne ich die Intervalle, da ich ja das Vorzeichen dieser Funktion komplett in einem Bereich umdrehen muss (der Bereich <1 muss anders behandelt werden als >1 was auch aus der Zeichnung her verständlich ist).
Liegt das an dem [mm] \wurzel{} [/mm] Zeichen oder wie bestimme ich diese Intervallbereiche?
Leider steht in unserem Mathebuch nur drin, dass hier eine abschnittsweise definierte Funktion als Ergebnis herauskommt, aber wie ich da drauf komme wird nicht erwähnt.
Meine Vermutung (anderes Beispiel): Mit der Wurzel [mm] x^2=9 [/mm] habe ich ja [mm] x=\pm\wurzel{9} [/mm] was mich hier auch auf 2 Ergebnisse bringt: -3 und +3. Ist dass dann hier genau so?
Ich wäre wirklich dankbar wenn mir das jemand vllt. ausführlich vorrechnen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo miggel13,
> Bestimmen Sie die erste Ableitung von [mm]f(x)=arccos(x^2-2x)[/mm]
> Hallo,
> mein Problem ist, dass ich nicht (genau) mathematisch
> nachvollziehen kann, warum ich bei der ersten Ableitung
> eine abschnittsweis definierte Funktion herausbekomme.
>
> [mm]f'(x)=\bruch{-1}{\wurzel{1-(x^2-2x)^2}}*(2x-2)[/mm]
>
> Nach etwas Umformung bekomme ich als Ergebnis:
> [mm]f'(x)=\bruch{-2}{\wurzel{-x^2+2x+1}}[/mm]
>
Genau genommen muss hier stehen:
[mm]f'\left(x\right)=\bruch{-2*\left(x-1\right)}{\vmat{x-1}\wurzel{-x^2+2x+1}}[/mm]
Da die Wurzel aus einer rellen Zahl stets positiv ist.
> Im Prinzip ist mir klar, dass f'(x) an der Stelle 1 nicht
> differenzierbar ist, da ich ja ansonsten durch 0 teilen
> würde. Wie komme oder berechne ich die Intervalle, da ich
> ja das Vorzeichen dieser Funktion komplett in einem Bereich
> umdrehen muss (der Bereich <1 muss anders behandelt werden
> als >1 was auch aus der Zeichnung her verständlich ist).
>
Zum einen darf der Nenner nicht 0 werden.
Zum anderen muss dieser stets positiv sein.
> Liegt das an dem [mm]\wurzel{}[/mm] Zeichen oder wie bestimme ich
> diese Intervallbereiche?
> Leider steht in unserem Mathebuch nur drin, dass hier eine
> abschnittsweise definierte Funktion als Ergebnis
> herauskommt, aber wie ich da drauf komme wird nicht
> erwähnt.
>
>
> Meine Vermutung (anderes Beispiel): Mit der Wurzel [mm]x^2=9[/mm]
> habe ich ja [mm]x=\pm\wurzel{9}[/mm] was mich hier auch auf 2
> Ergebnisse bringt: -3 und +3. Ist dass dann hier genau so?
>
> Ich wäre wirklich dankbar wenn mir das jemand vllt.
> ausführlich vorrechnen könnte.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Sa 02.03.2013 | | Autor: | miggel13 |
Mhm ok.
Also prinzipiell immer wenn ich eigentlich irgendwas aus der Wurzel herausschreibe, dann muss ich da den Betrag erst bilden und dann die notwendige Fallunterscheidung durchführen?
Noch eine weitere Frage: Wann ist der richtige Zeitpunkt, mich bei der Ableitung um die Definitionsmenge zu kümmern? Ich vermute mal direkt nachdem ich die Ableitung gebildet habe (ohne etwas zu kürzen oder ähnliches).
Kann ich auch bei den Ableitungsfunktionen f' von Arccos/Arcsin/Arctan immer generell sagen, dass die Definitionsmenge der Ableitungsfuntkion immer die Definitionsmenge von f ist, aber die Grenzen ausgeschlossen sein müssen und ich noch zusätzlich verhindern muss, dass der Bruch nicht 0 sein darf?
PS: (Allgemeine Frage) gibts eigentlich auch einen IRC Channel wo man sich direkt unterhalten kann beziehungsweise würde da Interesse bestehen?
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Hallo miggel13,
> Mhm ok.
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> Also prinzipiell immer wenn ich eigentlich irgendwas aus
> der Wurzel herausschreibe, dann muss ich da den Betrag erst
> bilden und dann die notwendige Fallunterscheidung
> durchführen?
>
Wenn Du den Betrag mit etwas kürzt,
dann ist eine Fallunterscheidung zu machen.
> Noch eine weitere Frage: Wann ist der richtige Zeitpunkt,
> mich bei der Ableitung um die Definitionsmenge zu kümmern?
> Ich vermute mal direkt nachdem ich die Ableitung gebildet
> habe (ohne etwas zu kürzen oder ähnliches).
>
Genauso ist es.
> Kann ich auch bei den Ableitungsfunktionen f' von
> Arccos/Arcsin/Arctan immer generell sagen, dass die
> Definitionsmenge der Ableitungsfuntkion immer die
> Definitionsmenge von f ist, aber die Grenzen ausgeschlossen
> sein müssen und ich noch zusätzlich verhindern muss, dass
> der Bruch nicht 0 sein darf?
>
Für die Ableitung des arccos und arcsin kannst Du das sagen.
Bei der Ableitung des arctan gibt es nichts auszuschliessen,
was den Nenner angeht.
> PS: (Allgemeine Frage) gibts eigentlich auch einen IRC
> Channel wo man sich direkt unterhalten kann beziehungsweise
> würde da Interesse bestehen?
Gruss
MathePower
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