Ableitung der Umkehrfunktionen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bilde mit dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion die Ableitungen von
a) f(x) = arccos x
b)f(x) = arsinh x
c) f(x) = arctan x |
Ich weiß hier nicht, ob es schon die abgeleiteten Funktionen sein sollen oder nicht ...
Woran kann ich dies erkennen?
Ich meine, es ist wichtig, zu wissen, ob ich jetzt von den gegebenen Funktionen ableiten muss, oder erst von den Umkehrfunktionen...
Außerdem bin ich mir bei Funktion b sehr unsicher, zwar kenne ich sinhx aber arsinhx habe ich noch nicht gehört und wüßte auch nicht wie er abzuleiten ist...
Gehe ich von den gegebenen Funktionen aus, dann müssten die 1. Ableitungen ja wie folgt aussehen:
a) f(x) = arccos x f'(x)= [mm] -\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}}
[/mm]
c) f(x) = arctan x f'(x)= [mm] \bruch{1}{1+x^{2}}
[/mm]
bei b weiß ich es wie gesagt nicht :(
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Hallo dxlegends,
> Bilde mit dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion
> die Ableitungen von
> a) f(x) = arccos x
> b)f(x) = arsinh x
> c) f(x) = arctan x
> Ich weiß hier nicht, ob es schon die abgeleiteten
> Funktionen sein sollen oder nicht ...
Nein, die obigen Funktionen sollst du als Umkehrfunktionen von
- bei (a) von [mm] $\cos(x)$
[/mm]
- bei (b) von [mm] $\sinh(x)$
[/mm]
- bei (c) von [mm] $\tan(x)$
[/mm]
auffassen und deren Ableitung mithilfe der Umkehrregel bestimmen.
[mm] $f^{-1}'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
[/mm]
Vllt. ist es im Sinne der Formel "günstiger", die gegebenen Funktionen in $(a)-(c)$ als [mm] $f^{-1}$ [/mm] zu bezeichnen und deren Umkehrfkten mit $f$
Aber das ist nur Bezeichnungssache, UKF zu sein, ist ja eine wechselseitige Eigenschaft
> Woran kann ich dies erkennen?
An der Aufgabenstellung ;_)
> Ich meine, es ist wichtig, zu wissen, ob ich jetzt von den
> gegebenen Funktionen ableiten muss, oder erst von den
> Umkehrfunktionen...
> Außerdem bin ich mir bei Funktion b sehr unsicher, zwar
> kenne ich sinhx aber arsinhx habe ich noch nicht gehört
> und wüßte auch nicht wie er abzuleiten ist...
Ja, das ist der "Area Sinus Hyperbolicus", die UKF zu [mm] $\sinh(x)$
[/mm]
> Gehe ich von den gegebenen Funktionen aus, dann müssten
> die 1. Ableitungen ja wie folgt aussehen:
>
> a) f(x) = arccos x f'(x)= [mm]-\bruch{1}{\wurzel{1-x^{2}}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> c) f(x) = arctan x f'(x)= [mm]\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm]
Hast du die über die Formel ausgerechnet?
Dann ist (b) auch nicht schwer, wenn du jetzt weißt, dass [mm] $\operatorname{arsinh}(x)$ [/mm] die UKF vom [mm] $\sinh(x)$ [/mm] ist ...
Benutzen musst du im weiteren den Zusammenhang: [mm] $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$ [/mm] ...
>
> bei b weiß ich es wie gesagt nicht :(
Schreib's mit dem oben Gesagten einfach mal auf und benutze den genannten Zusammenhang.
Dann klappt's von selbst ...
Gruß
schachuzipus
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Ich habe mir vor einiger Zeit die Ableitungen davon eingeprägt, rechnen könnte ich sie nur mit Problemen -.-
ich weiß das gilt (g sei die umkehrfunktion) [mm] g'(x)=\bruch{1}{f'(g(x))}
[/mm]
Dies würde be Aufgabe a) bedeuten:
[mm] g'(x)=\bruch{1}{-sin(arccos x)}
[/mm]
Wie ich jetzt aber -sin(arccos x) ausrechnen soll, ist mir ein Rätsel :(
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Hallo nochmal,
> Ich habe mir vor einiger Zeit die Ableitungen davon
> eingeprägt, rechnen könnte ich sie nur mit Problemen -.-
> ich weiß das gilt (g sei die umkehrfunktion)
> [mm]g'(x)=\bruch{1}{f'(g(x))}[/mm]
Ja, das ist nur anders bezeichnet, vergleiche mal ...
> Dies würde be Aufgabe a) bedeuten:
>
> [mm]g'(x)=\bruch{1}{-sin(arccos x)}[/mm]
>
> Wie ich jetzt aber -sin(arccos x) ausrechnen soll, ist mir
> ein Rätsel :(
Ok, du hast [mm] $g'(x)=-\frac{1}{\sin(\arccos(x))}$ [/mm] und weißt, dass [mm] $\cos$ [/mm] und [mm] $\arccos$ [/mm] Umkehrfunktionen zueinander sind.
Nutze eine dir seit Kindergartentagen bekannte Beziehung zwischen [mm] $\sin$ [/mm] und [mm] $\cos$, [/mm] um den Sinus durch einen Kosinusausdruck zu ersetzen ...
Gruß
schachuzipus
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>Nutze eine dir seit Kindergartentagen bekannte Beziehung zwischen sin und cos , um den Sinus durch einen Kosinusausdruck zu ersetzen ...
ich nehme mal an, du spielst auf sin² + cos² = 1 an, nutze ich dies bei der ersten aufgabe, ergibt sich folgender Rechenweg:
g'(x) = [mm] -\bruch{1}{sin(arccos(x))}
[/mm]
--> g'(x) [mm] =-\bruch{1}{\wurzel{1-cos²(arccos(x))}}
[/mm]
--> g'(x) = [mm] --\bruch{1}{\wurzel{1-x²}}
[/mm]
da sich cos und arccos als Ursprung bzw. Umkehrfunktion gegenseitig aufheben.
Ich frage lieber nochmal nach, bevor ich mir jetzt mit den anderen Aufgaben die Arbeit mach und ich auf dem Holzweg bin ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 So 21.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
sin(u) = [mm] \wurzel{1 - cos(u)^2}
[/mm]
u := arccos(x)
---->
sin(arccos(x)) = [mm] \wurzel{1 - cos(arccos(x))^2} [/mm] = [mm] \wurzel{1 - x^2}
[/mm]
Quadrat!
Gruss
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 So 21.02.2010 | | Autor: | dxlegends |
Jo, das fehlende Quadrat ist mir dann auch aufgefallen, als ich es ändern wollte war die Frage schon reserviert ;)
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Hmm, gab es da noch nen entsprechenden Regelsatz zu tangens und cosinus (aufgabe c) wie bei sin²+cos² =1???
Ich bin bei c jetzt an der Stelle ;
[mm] \bruch{1}{cos2(arctang(x))}
[/mm]
und komme hier jetzt partout nicht weiter...
Mein Problem ist, dass ich aufgrund längerer Krankheit die gesamte Trigonometrie verpasste :(
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Hallo nochmal,
> Hmm, gab es da noch nen entsprechenden Regelsatz zu tangens
> und cosinus (aufgabe c) wie bei sin²+cos² =1???
> Ich bin bei c jetzt an der Stelle ;
> [mm]\bruch{1}{cos2(arctang(x))}[/mm]
> und komme hier jetzt partout nicht weiter...
> Mein Problem ist, dass ich aufgrund längerer Krankheit
> die gesamte Trigonometrie verpasste :(
Bedenke, dass du die Ableitung [mm] $\tan'(z)$ [/mm] nicht nur schreiben kannst als [mm] $\frac{1}{\cos^2(z)}$, [/mm] sondern auch als [mm] $1+\tan^2(z)$
[/mm]
Denn: [mm] $\frac{1}{\cos^2(z)}=\frac{\sin^2(z)+\cos^2(z)}{\cos^2(z)}=\frac{\sin^2(z)}{\cos^2(z)}+\frac{\cos^2(z)}{\cos^2(z)}=\tan^2(z)+1=1+\tan^2(z)$
[/mm]
Damit solltest du locker weiterkommen ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 So 21.02.2010 | | Autor: | dxlegends |
Vielen Dank, an sowas hatte ich gedacht :)
Da ich ja das Ergebnis der Ableitung kannte, musste es sowas in der Art sein, nur konnte ich es ja schlecht aus dem stehgreif nehmen :)
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> Vielen Dank, an sowas hatte ich gedacht :)
> Da ich ja das Ergebnis der Ableitung kannte, musste es
> sowas in der Art sein, nur konnte ich es ja schlecht aus
> dem stehgreif nehmen :)
![[]](/images/popup.gif) Stegreif
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 So 21.02.2010 | | Autor: | dxlegends |
Kleiner Tippfehler, kann ja passieren ;)
davon ab sind wir hier bei Mathe und nicht bei Deutsch ;)
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> Kleiner Tippfehler, kann ja passieren ;)
war auch nicht als Tadel, sondern als Hinweis gedacht !
> davon ab sind wir hier bei Mathe und nicht bei Deutsch ;)
Gerade auch in Mathe ist es oft wirklich wichtig,
auch sprachlich exakt zu formulieren. Es gibt leider
auch allzu viele mathematische Aufgabenstellungen,
die wegen sprachlicher Mängel unklar oder unpräzise
sind.
LG Al-Chw.
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dann will ich mich nochmal an der Aufgabe b versuchen :)
also,
f(x)=arsinh x
--> f'(x) = [mm] \bruch{1}{cosh(arsinh(X))}
[/mm]
--> f' (x) = [mm] \bruch{1}{1-sinh (arsinh(x))²}
[/mm]
woraus folgen würde, dass
f'(x) = [mm] \bruch{1}{1-x²}
[/mm]
Allerdings weiß ich nicht, ob ich das von sin+cos auch auf sinh+cosh übertragen kann :(
wenn ja, wäre der weg wohl richtig, wenn nein, dann gebt mir die grundformel :)
Vielen Dank an alle die mir hier helfen und auch schon geholfen haben :)
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
