Ableitung der Umkehrfunktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm]f:[0,\infty[\rightarrow \IR,f(x):=\ln(2-e^{-x})[/mm] eine auf [mm][0,\ln 2[[/mm] definierte und differenzierbare Umkehrfunktion besitzt und bestimmen Sie [mm](f^{-1})'(y)[/mm] für alle [mm] y\in[0,\ln 2[[/mm].
a) indem Sie [mm][mm] f^{-1}(y) [/mm] durch Auflösen von y=f(x) direkt bestimmen
b) durch Anwendung des Satzes über die Ableitung von Umkehrfunktionen. |
Also erstmal meine Erkenntnisse bisher:
zu a)
[mm]
y=\ln(2-e^{-x})\gdw
e^y=e^{\ln(2-e^{-x})}\gdw
e^y=2-e^{-x}\gdw
e^{-x}=2-e^y\gdw
\ln(e^{-x})=\ln(2-e^y)\gdw
-x=\ln(2-e^y)\gdw
x=-\ln(2-e^y)\\[/mm]
[mm]f^{-1}(y)=-\ln(2-e^y)
[/mm]
[mm]
(f^{-1})'(y)=(-\ln(2-e^y))'\gdw
(f^{-1})'(y)=-(\bruch{1}{2-e^y}(-e^y))\gdw
(f^{-1})'(y)=\bruch{e^y}{2-e^y}
[/mm]
Das wäre also mein Ergebnis für Teil a.
zu Teil b)
ich glaube hier müsste man erst überprüfen ob f stetig, monoton und differenzierbar ist oder?
Hab ich jetzt erstmal vorausgesetzt und einfach folgende Regel angewendet:
[mm]
(f^{-1})'(y)=\bruch{1}{f'(f^{-1}(y)}
[/mm]
dazu habe ich erstmal f' bestimmt:
[mm]
f'(x)=\bruch{1}{2-e^{-x}}*(-e^{-x}*(-1))\gdw
f'(x)=\bruch{e^{-x}}{2-e^{-x}}
[/mm]
Dann eingesetzt:
[mm]
(f^{-1})'(y)=\bruch{1}{\bruch{e^{-(-\ln(2-e^y))}}{2-e^{-(-\ln(2-e^y))}}}\gdw
(f^{-1})'(y)=\bruch{1}{\bruch{e^{\ln(2-e^y)}}{2-e^{\ln(2-e^y)}}}\gdw
(f^{-1})'(y)=\bruch{1}{\bruch{2-e^y}{2-(2-e^y)}}\gdw
(f^{-1})'(y)=\bruch{1}{\bruch{2-e^y}{2-2+e^y)}}\gdw
(f^{-1})'(y)=\bruch{e^y}{2-e^y}
[/mm]
So das ist ja schonmal gut das beide Ergebnisse übereinstimmen, sollte korrekt sein oder?
Meine eigentliche Frage ist aber was ich jetzt noch alles machen muss, ich denke wie oben schon die Monotonie und Stetigkeit sowie Differenzierbarkeit von f zeigen.
Muss man auch zeigen das die angegebenen Intervalle stimmen?
Und wenn ja wie fängt man das am besten an?
Vielen dank
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Hallo mighttower2,
> Zeigen Sie, dass [mm] $f:[0,\infty[\rightarrow \IR,f(x):=\ln(2-e^{-x})$
[/mm]
> eine auf [mm] $[0,\ln [/mm] 2[$ definierte und differenzierbare
> Umkehrfunktion besitzt und bestimmen Sie [mm] $(f^{-1})'(y)$ [/mm] für
> alle [mm] $y\in[0,\ln [/mm] 2[$.
>
> a) indem Sie [mm] $f^{-1}(y)$ [/mm] durch Auflösen von $y=f(x)$ direkt bestimmen
> b) durch Anwendung des Satzes über die Ableitung von Umkehrfunktionen.
> Also erstmal meine Erkenntnisse bisher:
zu a)
> [mm] $y=\ln(2-e^{-x})\gdw e^y=e^{\ln(2-e^{-x})}\gdw e^y=2-e^{-x}\gdw e^{-x}=2-e^y\gdw\ln(e^{-x})=\ln(2-e^y)$
[/mm]
[mm] $\gdw -x=\ln(2-e^y)\gdw x=-\ln(2-e^y)$
[/mm]
> [mm] $f^{-1}(y)=-\ln(2-e^y)$ [/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
[mm] $(f^{-1})'(y)=(-\ln(2-e^y))'\gdw (f^{-1})'(y)=-(\bruch{1}{2-e^y}(-e^y))\gdw (f^{-1})'(y)=\bruch{e^y}{2-e^y}$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das wäre also mein Ergebnis für Teil a.
> zu Teil b)
> ich glaube hier müsste man erst überprüfen ob f stetig, monoton und > differenzierbar ist oder?
> Hab ich jetzt erstmal vorausgesetzt und einfach folgende Regel > angewendet:
> [mm] $(f^{-1})'(y)=\bruch{1}{f'(f^{-1}(y)}$
[/mm]
> dazu habe ich erstmal f' bestimmt:
> [mm] $f'(x)=\bruch{1}{2-e^{-x}}*(-e^{-x}*(-1))\gdw f'(x)=\bruch{e^{-x}}{2-e^{-x}} [/mm] \ \ [mm] \red{=\frac{1}{2e^x-1}}$ [/mm] das macht das Einsetzen bequemer 
> Dann eingesetzt:
> [mm] $(f^{-1})'(y)=\bruch{1}{\bruch{e^{-(-\ln(2-e^y))}}{2-e^{-(-\ln(2-e^y))}}}\gdw (f^{-1})'(y)=\bruch{1}{\bruch{e^{\ln(2-e^y)}}{2-e^{\ln(2-e^y)}}}\gdw (f^{-1})'(y)=\bruch{1}{\bruch{2-e^y}{2-(2-e^y)}}$
[/mm]
[mm] $\gdw (f^{-1})'(y)=\bruch{1}{\bruch{2-e^y}{2-2+e^y)}}\gdw (f^{-1})'(y)=\bruch{e^y}{2-e^y}$
[/mm]
> So das ist ja schonmal gut das beide Ergebnisse übereinstimmen, sollte korrekt sein oder?
Ja!
> Meine eigentliche Frage ist aber was ich jetzt noch alles machen > muss, ich denke wie oben schon die Monotonie und Stetigkeit sowie > Differenzierbarkeit von f zeigen.
Naja, stetig ist die Funktion auf dem angegebenen Intervall offensichtlich.
Zeige, dass sie auf dem Intervall monoton steigend ist (Stichwort 1.Ableitung ...), damit ist sie dort injektiv, und es ex. die UKF
> Muss man auch zeigen das die angegebenen Intervalle stimmen?
> Und wenn ja wie fängt man das am besten an?
> Vielen dank
LG
schachuzipus
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