Ableitung der Aktivierungsener < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Fr 02.02.2007 | | Autor: | MTBE |
| Aufgabe | Aufgabe 1.
Die Aktivierungsenergie [mm] E_{A} [/mm] einer chemischen Reaktion wird durch die Formel
[mm] E_{A} [/mm] = [mm] R\bruch{T_{1}T_{2}}{T_{2}-T_{1}} ln(\bruch{k_{2}}{k_{1}})
[/mm]
ermittelt, wobei [mm] k_{1}, k_{2} [/mm] die Messwerte der Geschwindigkeitskonstanten der Reaktion bei zwei Temperaturen [mm] T_{1} [/mm] bzw. [mm] T_{2}( \not=T_{1}) [/mm] (in Kelvin) sind.
Man zeige:
[mm] \bruch{dE_{A}}{E_{A}} [/mm] = [mm] \bruch{{T_{2}}\bruch{dT_{1}}{T_{1}}-T_{1}\bruch{dT_{2}}{T_{2}}}{T_{2}-T_{1}} +\bruch{1}{ln(\bruch{k_{2}}{k_{1}})} (\bruch{dk_{2}}{k_{2}}- \bruch{dk_{1}}{k_{1}}).
[/mm]
Man schätze den relativen Fehler [mm] \delta E_{A} [/mm] = [mm] \bruch{\Delta E_{A}}{E_{A}} [/mm] (in 1. Näherung), wenn
[mm] T_{1} [/mm] = 300 [mm] \pm [/mm] 0.1 [K],
[mm] T_{2} [/mm] = 320 [mm] \pm [/mm] 0.1 [K], und
[mm] k_{1} [/mm] = 2,
[mm] k_{2} [/mm] = 3 jeweils mit 1/mille gemessen wurde. |
Wie um Himmelswillen zeige ich [mm] \bruch{dE_{A}}{E_{A}} [/mm] = ...?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Fr 02.02.2007 | | Autor: | riwe |
das geht nach dem fehlerfortpflanzungsgesetz
dazu mußt du [mm] E_A [/mm] jeweils nach den einzelnen variablen partiell differenzieren und die (relativen) fehler aufsummiern.
und um den relativen fehler zu erhalten am schluß eben durch [mm] E_A [/mm] dividieren
z.b
[mm] \frac{\partial E_A}{\partial T_1}=R\frac{T_2^{2}}{(T_2-T_1)²}\cdot ln(\frac{k_2}{k_1})
[/mm]
wenn du nun durch [mm] E_A [/mm] dividierst, hast du den (aller)ersten teil....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Fr 02.02.2007 | | Autor: | MTBE |
Erstmal schönen Dank für deinen Tipp, aber ich befürchte, dass ich das nicht ganz so schnell hinbekomme.
Zunächst bilde ich die partiellen Ableitungen:
[mm] \bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{1}}, \bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{2}}, \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{1}}, \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{2}} [/mm] ; richtig?!
Und dann addiert man diese zusammen:
[mm] \bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{1}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{2}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{1}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{2}} [/mm] ; richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Fr 02.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Erstmal schönen Dank für deinen Tipp, aber ich befürchte,
> dass ich das nicht ganz so schnell hinbekomme.
>
> Zunächst bilde ich die partiellen Ableitungen:
>
> [mm]\bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{1}}, \bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{2}}, \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{1}}, \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{2}}[/mm]
> ; richtig?!
>
> Und dann addiert man diese zusammen:
>
> [mm]\bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{1}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{2}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{1}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{2}}[/mm]
> ; richtig?
Nicht ganz. es fehlt noch das [mm] \Delta{x}, [/mm] der entsprechenden Variable.
Also
[mm] \bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{1}}\red{\Delta{T_{1}}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{2}}\red{\Delta{T_{2}}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{1}}\red{\Delta{k_{1}}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{2}}\red{\Delta{k_{2}}}
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Fr 02.02.2007 | | Autor: | riwe |
> Hallo
>
> > Erstmal schönen Dank für deinen Tipp, aber ich befürchte,
> > dass ich das nicht ganz so schnell hinbekomme.
> >
> > Zunächst bilde ich die partiellen Ableitungen:
> >
> > [mm]\bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{1}}, \bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{2}}, \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{1}}, \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{2}}[/mm]
> > ; richtig?!
> >
> > Und dann addiert man diese zusammen:
> >
> > [mm]\bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{1}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{2}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{1}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{2}}[/mm]
> > ; richtig?
>
>
> Nicht ganz. es fehlt noch das [mm]\Delta{x},[/mm] der entsprechenden
> Variable.
>
> Also
>
> [mm]\bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{1}}\red{\Delta{T_{1}}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{2}\red{\Delta{T_{2}}}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{1}}\red{\Delta{k_{1}}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{2}}\red{\Delta{k_{2}}}[/mm]
>
>
> Marius
das [mm] \Delta T_2 [/mm] ist verrutscht.
klar ist mit den "spezifischen" fehlern zu multilizieren, darum heißt es ja
fehlerFORTPFLANZUNGSgesetz.
da gäbe es jede menge im internet dazu, wenn man es wissen will.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Fr 02.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
> > Hallo
> >
> > > Erstmal schönen Dank für deinen Tipp, aber ich befürchte,
> > > dass ich das nicht ganz so schnell hinbekomme.
> > >
> > > Zunächst bilde ich die partiellen Ableitungen:
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{1}}, \bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{2}}, \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{1}}, \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{2}}[/mm]
> > > ; richtig?!
> > >
> > > Und dann addiert man diese zusammen:
> > >
> > > [mm]\bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{1}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{2}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{1}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{2}}[/mm]
> > > ; richtig?
> >
> >
> > Nicht ganz. es fehlt noch das [mm]\Delta{x},[/mm] der entsprechenden
> > Variable.
> >
> > Also
> >
> > [mm]\bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{1}}\red{\Delta{T_{1}}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{2}\red{\Delta{T_{2}}}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{1}}\red{\Delta{k_{1}}}+ \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{2}}\red{\Delta{k_{2}}}[/mm]
>
> >
> >
> > Marius
>
> das [mm]\Delta T_2[/mm] ist verrutscht.
Schon verbessert 
>
> klar ist mit den "spezifischen" fehlern zu multilizieren,
> darum heißt es ja
> fehlerFORTPFLANZUNGSgesetz.
> da gäbe es jede menge im internet dazu, wenn man es wissen
> will.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Fr 02.02.2007 | | Autor: | MTBE |
Deshalb bin ich ja im Internet, gelle...
Ich blicke da vielleicht nicht so ganz durch, aber man wird hier doch mal fragen dürfen:
Habe ich die einzelnen Therme richtig differenziert?
[mm] \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{1}} [/mm] = [mm] R\bruch{T_{1}T_{2}}{T_{2}-T_{1}} lnk_{2}-\bruch{1}{k_{1}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{2}} [/mm] = [mm] R\bruch{T_{1}T_{2}}{T_{2}-T_{1}} \bruch{1}{k_{1}}-lnk_{2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{1}} [/mm] = [mm] R\bruch{T_{2}^2}{(T_{2}-T_{1})^2} [/mm] ln [mm] \bruch{k_{2}}{k_{1}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{2}} [/mm] = [mm] R\bruch{T_{1}^2}{(T_{2}-T_{1})^2} [/mm] ln [mm] \bruch{k_{2}}{k_{1}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Fr 02.02.2007 | | Autor: | riwe |
> Deshalb bin ich ja im Internet, gelle...
>
> Ich blicke da vielleicht nicht so ganz durch, aber man wird
> hier doch mal fragen dürfen:
> Habe ich die einzelnen Therme richtig differenziert?
>
> [mm]\bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{1}}[/mm] =
> [mm]R\bruch{T_{1}T_{2}}{T_{2}-T_{1}} lnk_{2}-\bruch{1}{k_{1}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial E_{A}}{\partial k_{2}}[/mm] =
> [mm]R\bruch{T_{1}T_{2}}{T_{2}-T_{1}} \bruch{1}{k_{1}}-lnk_{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{1}}[/mm] =
> [mm]R\bruch{T_{2}^2}{(T_{2}-T_{1})^2}[/mm] ln [mm]\bruch{k_{2}}{k_{1}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial E_{A}}{\partial T_{2}}[/mm] =
> [mm]R\bruch{T_{1}^2}{(T_{2}-T_{1})^2}[/mm] ln [mm]\bruch{k_{2}}{k_{1}}[/mm]
freilich darfst du fragen,gelle.
aber die partiellen ableitungen stimmen trotzdem nichtableitungen
[mm]f(k_1,k_2)=ln\frac{k_2}{k_1}=lnk_2-lnk_1[/mm]
daher
[mm] \frac{\partial f}{\partial k_1}=-\frac{1}{k_1}
[/mm]
[mm] \frac{\partial f}{\partial k_2}=\frac{1}{k_2}
[/mm]
das jeweils andere [mm] k_i [/mm] vertschüst sich.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Fr 02.02.2007 | | Autor: | MTBE |
ja, klar... daran hab ich dann nicht mehr gedacht.
Und im Anschluss addiere ich alle Therme und setze die Werte aus der Aufgabenstellung ein, richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Fr 02.02.2007 | | Autor: | riwe |
ja,
dazu brauchst du allerdings noch die entsprechenden fehler(größen)
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