Ableitung bestimmen - Funktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:58 Fr 03.11.2006 | | Autor: | JanaSK |
Hallo,
ich habe eine Frage und vielleicht kann mir jemand dabei weiterhelfen. Ich soll von der Funktion "G(x) = -4 ABS(x-5) + 25"
(ABS steht für Betragswert)
den Extremwert (Maximum) bestimmen.
Ich weiß, dass ich dafür die erste Ableitung dieser Funktion bilden muss. Aber leider weiß ich nicht wie ich diese bilden kann (wegen dem Betragswert). Als Lösung soll herauskommen x = 5 und y = 25.
Kann mir da jemand weiterhelfen? 
Vielen lieben Dank für eure Hilfe!
Gruß, JanaSK
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
www.matheboard.de
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Fr 03.11.2006 | | Autor: | JanaSK |
Jemand hat mir aus dem Forum matheboard.de als Antwort geschrieben:
"Mache eine Fallunterscheidung x > 5 und x < 5."
Aber wie mache ich das?
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Die Methode, mit der Ableitung das Extremum zu bestimmen, funktioniert nur mit differenzierbaren Funktionen. Jetzt ist aber gerade die Betragsfunktion an ihrer Minimalstelle nicht differenzierbar. Du solltest daher hier anders vorgehen.
Du kannst es so machen, wie vorgeschlagen:
Für [mm]x \geq 5[/mm] darfst du [mm]\left| x - 5 \right| = x - 5[/mm] schreiben und für [mm]x < 5[/mm] dann [mm]\left| x - 5 \right| = - (x - 5) = -x + 5[/mm]
Du erhältst so eine Darstellung von [mm]f[/mm] mit Hilfe stückweiser linearer Funktionen.
Ich möchte dir aber eine Alternative vorschlagen:
[mm]f_1(x) = \left| x \right|[/mm]
[mm]f_2(x) = \left| x - 5 \right|[/mm]
[mm]f_3(x) = 4 \cdot \left| x - 5 \right|[/mm]
[mm]f_4(x) = - 4 \cdot \left| x - 5 \right|[/mm]
[mm]f_5(x) = - 4 \cdot \left| x - 5 \right| + 25[/mm]
Hinter der schrittweisen Abänderung des Terms steckt immer eine kleine geometrische Veränderung des Funktionsgraphen. Du solltest dir zu jeder der Funktionen eine Skizze erstellen. Mit der Skizze von [mm]f_5[/mm] erklärt sich dann alles.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Fr 03.11.2006 | | Autor: | JanaSK |
Hallo Leopold_Gast,
vielen lieben Dank für deine Hilfe!
Für x>=5 ist die Extremstelle somit 5.
Gruß, JanaSK
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