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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Ableitung als Abbildung
Ableitung als Abbildung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ableitung als Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:46 Do 17.03.2011
Autor: kushkush

Aufgabe
Sei [mm] $V=K\left[t\right]_{d}$ [/mm] und sei $f$ in $EndV$ durch [mm] $f(v)=\frac{dv}{dt}$ [/mm] definiert. Berechne [mm] $P_{f}(x)$. [/mm]

Hallo

Eine Basis meines Raums wäre: [mm] $(1),(t),(t^{2})....,(t^{d})$ [/mm]

und wenn ich das abbilde dann wird daraus [mm] $(0),(1),(2t^{1}),....(dt^{d-1})$ [/mm]

Wie komme ich denn zum charakteristischen Polynom der Abbildung, dazu benötige ich doch eine Matrix?


Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Danke und Gruss

kushkush

        
Bezug
Ableitung als Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:04 Do 17.03.2011
Autor: Lippel

Hallo,

> Sei [mm]V=K\left[t\right]_{d}[/mm] und sei [mm]f[/mm] in [mm]EndV[/mm] durch
> [mm]f(v)=\frac{dv}{dt}[/mm] definiert. Berechne [mm]P_{f}(x)[/mm].
>  Hallo
>  
> Eine Basis meines Raums wäre: [mm](1),(t),(t^{2})....,(t^{d})[/mm]
>
> und wenn ich das abbilde dann wird daraus
> [mm](0),(1),(2t^{1}),....(dt^{d-1})[/mm]
>  
> Wie komme ich denn zum charakteristischen Polynom der
> Abbildung, dazu benötige ich doch eine Matrix?

Und du hast auch alles was du brauchst um die Matrix aufzustellen: es gilt doch, wie du bereits gesagt hast, $1 [mm] \mapsto [/mm] 0, t [mm] \mapsto [/mm] 1, [mm] t^2 \mapsto [/mm] 2t , [mm] \ldots, t^d \mapsto dt^{d-1}$ [/mm]

Damit erhälst du bzgl der Basis [mm] $(1,t,t^2,\ldots t^d)$ [/mm] die Abbildungsmatrix:

[mm] $\pmat{0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3 & \cdots & 0 & 0 \\ & & & \ddots & & &\\& & & & \ddots & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & d \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0}$ [/mm]

LG Lippel

Bezug
                
Bezug
Ableitung als Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Do 17.03.2011
Autor: kushkush

Hallo


> die Abbildungsmatrix

und [mm] $P_{f}(x)= (-x)^{d+1}$ [/mm] , richtig?



> LG

Danke!


Gruss

kushkush

Bezug
                        
Bezug
Ableitung als Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:56 Do 17.03.2011
Autor: fred97


> Hallo
>  
>
> > die Abbildungsmatrix
>
> und [mm]P_{f}(x)= (-x)^{d+1}[/mm] , richtig?

Ja

FRED

>
>
>
> > LG
>  
> Danke!
>  
>
> Gruss
>  
> kushkush


Bezug
                                
Bezug
Ableitung als Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:58 Do 17.03.2011
Autor: kushkush

Hallo


> Ja


> FRED

Danke


Gruss

kushkush

Bezug
                        
Bezug
Ableitung als Abbildung: Definition des char. Polynoms
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Do 17.03.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> und [mm]P_{f}(x)= (-x)^{d+1}[/mm] , richtig?



Hallo kushkush,

je nach Definition :    []Charakteristisches Polynom

Nach der dort (als erster) genannten Definition wäre  [mm]P_{f}(x)= x^{d+1}[/mm]

LG

Al-Chw.


Bezug
                                
Bezug
Ableitung als Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:12 Do 17.03.2011
Autor: kushkush

Hallo

>je nach Definition


Danke für den Hinweis!


Gruss

kushkuhs

Bezug
                                
Bezug
Ableitung als Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:13 Do 17.03.2011
Autor: fred97

Hallo Al,

wie so häufig in der Mathematik, ist auch der Begriff "charakteristisches Polynom" nicht einheitlich definiert. Manchmal findet man

    [mm] $\chi_A(\lambda) [/mm] = [mm] \det(\lambda E_n-A)$, [/mm]

genauso häufig aber auch

    [mm] $\chi_A(\lambda) [/mm] = [mm] \det(A-\lambda E_n)$. [/mm]

Gruß FRED

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