Ableitung allgemein berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Mo 10.05.2010 | | Autor: | johnyan |
| Aufgabe | Es sei A eine m×n-Matrix und [mm] \vec{c} \in \IR^m. [/mm] Berechnen Sie die Ableitung der Funktion
[mm] \vec{f} [/mm] : [mm] \IR^n \to \IR^m, \vec{x} \to A\vec{x}+\vec{c}
[/mm]
indem Sie die partiellen Ableitungen bilden und die Ableitungsmatrix angeben. Verifizieren Sie das Ergebnis mit Hilfe der Definition der Ableitung vektorwertiger Funktionen mehrerer Variablen. |
also [mm] A\vec{x} [/mm] ist ein m×1 Spaltenvektor, aber wie bilde ich die partiellen Ableitungen davon?
In der Übung haben wir eine ähnliche Aufgabe mit einer konkreten Abbildung gemacht. Da haben wir erst die partiellen Ableitungen in eine Matrix geschrieben. Dann die Definition benutzt:
[mm] \limes_{|\vec{\Delta x}|\rightarrow 0} \bruch{\vec{f}(\vec{x}+\vec{\Delta x})-\vec{f}(\vec{x})-\vec{f}'(\vec{x})(\vec{\Delta x})}{|\vec{\Delta x}|}=0
[/mm]
um zu überprüfen, ob der Grenzwert gegen 0 geht.
aber hier scheitere ich schon am ersten Schritt, die partiellen Ableitungen zu bilden, bitte um Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Mo 10.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei A eine m×n-Matrix und [mm]\vec{c} \in \IR^m.[/mm] Berechnen
> Sie die Ableitung der Funktion
>
> [mm]\vec{f}[/mm] : [mm]\IR^n \to \IR^m, \vec{x} \to A\vec{x}+\vec{c}[/mm]
>
> indem Sie die partiellen Ableitungen bilden und die
> Ableitungsmatrix angeben. Verifizieren Sie das Ergebnis mit
> Hilfe der Definition der Ableitung vektorwertiger
> Funktionen mehrerer Variablen.
> also [mm]A\vec{x}[/mm] ist ein m×1 Spaltenvektor, aber wie bilde
> ich die partiellen Ableitungen davon?
Fang doch mal mit $n = m = 2$ und der Matrix $A = [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }$ [/mm] und [mm] $\vec{c} [/mm] = [mm] \pmat{ c_1 \\ c_2 }$ [/mm] an. Sei [mm] $\vec [/mm] x = [mm] \vec{ x_1 \\ x_2 }$; [/mm] dann rechne mal $A [mm] \vec{x} [/mm] + [mm] \vec{c}$ [/mm] als Funktion von [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] aus. Das solltest du doch partiell ableiten koennen?
Wenn nicht, schreib genau auf was du getan hast.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mo 10.05.2010 | | Autor: | johnyan |
Also dann hätte ich:
[mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} } \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] + [mm] \pmat{ c_1 \\ c_2 } [/mm] = [mm] \vektor{ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + c_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + c_2 }
[/mm]
wenn ich die Ableitung davon bilde: erhalte ich wieder $ A = [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} } [/mm] $, wenn ich annehmen darf, dass in A nur Zahlen sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Mo 10.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also dann hätte ich:
>
> [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} } \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
> + [mm]\pmat{ c_1 \\ c_2 }[/mm] = [mm]\vektor{ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + c_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + c_2 }[/mm]
>
> wenn ich die Ableitung davon bilde: erhalte ich wieder [mm]A = \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} } [/mm],
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wenn ich annehmen darf, dass in A nur Zahlen sind.
Ja, darfst du.
Jetzt mach das mal mit einer $n [mm] \times [/mm] m$-Matrix.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mo 10.05.2010 | | Autor: | johnyan |
ok, dann heißt es, dass meine Ableitungsmatrix von f genau A ist. Das habe ich am Anfang auch schon vermutet, nur stand nirgends, dass in A nur Zahlen sind. Wie kann ich denn jetzt zeigen, dass das mit der Definition übereinstimmt?
so hab ich das gedacht:
Also [mm] \Delta \vec{f}=\vec{f}(\vec{x}+\vec{\Delta x})-\vec{f}(\vec{x})=A\vec{\Delta x}
[/mm]
[mm] \limes_{|\vec{\Delta x}|\rightarrow 0} \bruch{\vec{f}(\vec{x}+\vec{\Delta x})-\vec{f}(\vec{x})-A\vec{\Delta x}}{|\vec{\Delta x}|}=0
[/mm]
also stimmt die berechnete Ableitung.
Aber wie begründe ich, dass die partiellen Ableitungen zusammen A ergeben? Mir ist das anschaulich durch dein Beispiel klar geworden, aber formal aufgeschrieben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Mo 10.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ok, dann heißt es, dass meine Ableitungsmatrix von f genau
> A ist. Das habe ich am Anfang auch schon vermutet, nur
> stand nirgends, dass in A nur Zahlen sind.
War aber so gemeint :)
> Wie kann ich denn jetzt zeigen, dass das mit der Definition
> übereinstimmt?
>
> so hab ich das gedacht:
>
> Also [mm]\Delta \vec{f}=\vec{f}(\vec{x}+\vec{\Delta x})-\vec{f}(\vec{x})=A\vec{\Delta x}[/mm]
Setz das doch mal in [mm] $\limes_{|\vec{\Delta x}|\rightarrow 0} \bruch{\vec{f}(\vec{x}+\vec{\Delta x})-\vec{f}(\vec{x})-\vec{f}'(\vec{x})(\vec{\Delta x})}{|\vec{\Delta x}|}$ [/mm] ein, zusammen mit dem Kandidaten [mm] $\vec{f}'(\vec{x}) [/mm] = A$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mo 10.05.2010 | | Autor: | johnyan |
Hihi, hast die Antwort geschrieben, als ich selbst draufkam und editiert habe. Die neue Frage lautet deshalb
wie begründe ich, dass die partiellen Ableitungen zusammen A ergeben? Mir ist das anschaulich durch dein Beispiel klar geworden, aber formal aufgeschrieben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Di 11.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hihi, hast die Antwort geschrieben, als ich selbst draufkam
> und editiert habe. Die neue Frage lautet deshalb
>
> wie begründe ich, dass die partiellen Ableitungen zusammen
> A ergeben? Mir ist das anschaulich durch dein Beispiel klar
> geworden, aber formal aufgeschrieben?
Du schreibst es genauso auf wie im Beispiel. Nur dass du [mm] $\sum_{i=1}^n a_i$ [/mm] verwendest anstelle [mm] $a_1 [/mm] + [mm] a_2$, [/mm] etc.
LG Felix
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