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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Di 17.06.2008 | | Autor: | illu |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Bogenlänge der Fkt.
[mm]\ f(x)=\wurzel{8x}[/mm]
im Intervall [mm]1\le x \le3[/mm]. |
Hi, komme irgendwie mit der Aufgabe nicht weiter.
Habe mich schon an die Ableitung gemacht, weiß aber nicht ob ich auf dem richtigen Weg bin.
[mm]f(x)=2* \wurzel{2} * \wurzel{x}[/mm]
[mm]u=2* \wurzel{2}[/mm]
[mm]u'=0[/mm]
[mm] v=\wurzel{x} [/mm]
[mm]v'=\bruch{1}{2}*x^{-1/2}[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo, schreibe [mm] \wurzel{8x}=(8x)^{\bruch{1}{2}}, [/mm] jetzt kannst du die Kettenregel benutzen, äußere Ableitung mal innere Ableitung, Steffi
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Hallo illu,
dein Weg geht natürlich auch und deine Schritte sind alle richtig.
Nun musst du nur noch die Ableitung gemäß Produktregel zusammenbasteln...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Di 17.06.2008 | | Autor: | illu |
O.K., dann bekäme ich ja:
[mm] f'(x)=u'*v+u*v'=2*\wurzel{2}*\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
wäre es dann
[mm] f'(x)=\wurzel{8}*\bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] ?
Gruß
Andre
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Hallo nochmal,
> O.K., dann bekäme ich ja:
>
> [mm]f'(x)=u'*v+u*v'=2*\wurzel{2}*\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wäre es dann
> [mm]f'(x)=\wurzel{8}*\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm] ? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da hast du dich beim Kürzen verschustert, du kannst die 2 und die [mm] \frac{1}{2} [/mm] gegeneinander wegkürzen und bekommst ...
>
> Gruß
> Andre
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Di 17.06.2008 | | Autor: | illu |
cool, dann hab ich jetzt
[mm] f'(x)=\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{x}}
[/mm]
dann muss ich's ja nur noch in die Formel für die Bogenlänge einsetzten und das richtige INtegral aus der Tabelle suchen.
Müsste dann ja
[mm] s=\integral_{1}^{3}\wurzel{1+(\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{x}})^{2}} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{3}\wurzel{1+(\bruch{2}{x})}
[/mm]
sein.
Muss ich dann noch irgendwas machen?
Finde nämlich das richtige integral nicht in der Integraltafel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Di 17.06.2008 | | Autor: | illu |
Sorry, hab Mitteilung anstelle von Frage gedrückt.
Hab dann jetzt
[mm] f'(x)=\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{x}}
[/mm]
dann muss ich's ja nur noch in die Formel für die Bogenlänge einsetzten und das richtige INtegral aus der Tabelle suchen.
Müsste dann ja
[mm] s=\integral_{1}^{3}\wurzel{1+(\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{x}})^{2}} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{3}\wurzel{1+(\bruch{2}{x})}
[/mm]
sein.
Muss ich dann noch irgendwas machen?
Finde nämlich das richtige integral nicht in der Integraltafel.
Vielen Dank für die zahlreichen Hilfen!!!
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo illu,
"nur noch" ist gut, das ist ein bescheidenes Integral, das hat's richtig in sich.
Da musst du einiges tricksen, um das zu lösen. (zumindest habe ich keinen einfache(re)n Weg gefunden, was aber natürlich nix heißen will ..)
Schreibe das Integral zunächst mal als $\int{\sqrt{1+\frac{2}{x}} \ dx}=\int{\sqrt{\frac{x+2}{x}} \ dx}$
Dann beginne mal mit der Substitution $u:=\sqrt{\frac{x+2}{x}}$
Dann ist $u'=\frac{du}{dx}=-\frac{\sqrt{\frac{x+2}{x}}}{x(x+2)}$, also $dx=-\frac{x(x+2)}{\sqrt{\frac{x+2}{x}}} \ du=-\frac{x(x+2)}{u} \ du$
Das ersetzen, dann wird aus dem Integral
$\int{\sqrt{\frac{x+2}{x}} \ dx}=\int{u\cdot{}\left(-\frac{x(x+2)}{u}\right) \ du}}=-\int{x(x+2) \ du}$
Jetzt müssen wir noch den Krempel mit x(x+2) in u ausdrücken:
Aus der Substitution $u:=\sqrt{\frac{x+2}{x}}$ ist $u^2=\frac{x+2}{x}=1+\frac{2}{x}$. Damit $x=\frac{2}{u^2-1}$
Damit nun rein ins Integral und schön zusammenfassen.
Das Integral, das du dabei dann schlussendlich erhältst, musst du dann noch mit einer Partialbruchzerlegung traktieren.
Alles in allem ein mehr als unschönes Biest...
Viel Erfolg bei Nachvollziehen und Zuenderechnen 
Gruß
schachuzipus
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![[versammlung]](/images/smileys/versammlung.gif "[versammlung]"){kind=small}
