Ableitung, Wurzel, Logarithmus < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:58 Mo 18.05.2009 | | Autor: | konqui |
| Aufgabe | Gegeben ist folgende Funktion:
[mm] f(x)=x*ln\wurzel[2]{(x^{2}+k^{2})/x^{2}-k^{2})} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Könnt Ihr mir bitte bei der Bildung der 1. Ableitung der funktion weiterhelfen?
Herzlichen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] f(x)=x\cdot{}ln\wurzel[2]{(x^{2}+k^{2})/x^{2}-k^{2})}= \bruch{x}{2}ln((x^{2}+k^{2})/(x^{2}-k^{2}))= \bruch{x}{2}(ln(x^{2}+k^{2})-ln(x^{2}-k^{2}))$
[/mm]
Jetzt Produktregel und $(ln(a(x)))' = [mm] \bruch{a'(x)}{a(x)}$ [/mm] (Kettenregel)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Mo 18.05.2009 | | Autor: | konqui |
Hallo Fred,
danke für die Antwort.
Könntest Du mir die Kettenregel für dieses Beispiel genauer erläutern?
Danke!
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> Könntest Du mir die Kettenregel für dieses Beispiel genauer
> erläutern?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wo liegt denn Dein Problem? Kennst und kannst Du die Kettenregel?
Nehmen wir [mm] h(x):=\red{\ln(}\blue{x^2+k^2}\red{)}: [/mm] es in der Logarithmus die äußere Funktion und [mm] x^2+k^2 [/mm] die innere.
Nun mach mal!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Mo 18.05.2009 | | Autor: | konqui |
Hallo Angela,
normalerweise hätte ich es so gemacht:
Gegeben:
[mm] f(x)=x\cdot{}ln\wurzel[2]{(x^{2}+k^{2})/x^{2}-k^{2})}
[/mm]
Umgestellt nach:
[mm] f(x)=x\cdot{}ln[(x^{2}+k^{2})/x^{2}-k^{2})]^{1/2}
[/mm]
Ableitung der Gesamtfunktion:
[mm] f'(x)=x'\cdot{}ln[(x^{2}+k^{2})/x^{2}-k^{2})]^{1/2}+x\cdot{}\{ln[(x^{2}+k^{2})/(x^{2}-k^{2})]\}^{1/2}'
[/mm]
Als erstes würde ich [mm] \{ln[(x^{2}+k^{2})/(x^{2}-k^{2})]\}^{1/2}' [/mm] ableiten:
[mm] \{ln[(x^{2}+k^{2})/x^{2}-k^{2})]\}^{1/2}'=
[/mm]
[mm] =(-1/2)\{ln[(x^{2}+k^{2})/(x^{2}-k^{2})]\}^{-1/2}*\bruch{1}{[(x^{2}+k^{2})/x^{2}-k^{2})]}*\bruch{[(2x+2k)*(x^{2}-k^{2})]-[(x^{2}+k^{2})*(2x-2k)]}{[(x^{2}-k^{2})]^2}=
[/mm]
[mm] =(-1/2)ln\bruch{1}{\wurzel{[(x^{2}+k^{2})/(x^{2}-k^{2})]}}*\bruch{(x^{2}-k^{2})}{(x^{2}+k^{2})}*\bruch{[(2x+2k)*(x^{2}-k^{2})]-[(x^{2}+k^{2})*(2x-2k)]}{(x^{2}-k^{2})*(x^{2}+k^{2})}=
[/mm]
[mm] =(-1/2)\bruch{\{ln\bruch{1}{\wurzel{[(x^{2}+k^{2})/(x^{2}-k^{2})]}}\}*\{[(2x+2k)*(x^{2}-k^{2})]-[(x^{2}+k^{2})*(2x-2k)]\}}{(x^{2}+k^{2})*(x^{2}+k^{2})}
[/mm]
Diesen Wert würde ich dann wieder in die Gesamtableitung einsetzen und ev. vereinfachen.
Geht es ev. auch einfacher?
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> Geht es ev. auch einfacher?
Hallo,
ich habe mir Deine Rechnung nicht in Einzelheiten durchgeschaut - das ist mir auf diese Art gerechnet entschieden zu mühsam.
Ich frage mich, ob Du die Antworten überhaupt liest:
Fred war zwar in seiner Antwort sparsam mit blumigen Worten, aber ansonsten war er überhaupt nicht geizig: er hat Dir doch Deine Funktion unter Zuhilfenahme der  Logarithmusgesetze schon so zubereitet, daß das Ableiten bequem ist.
Hast Du Dir das mal angeschaut? Solltest Du tun. Dann damit rechnen.
Und am Ende kannst Du bei Interesse vergleichen, ob Dein eben erzieltes Ergebnis genauso ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
>
> > Geht es ev. auch einfacher?
>
> Hallo,
>
> ich habe mir Deine Rechnung nicht in Einzelheiten
> durchgeschaut - das ist mir auf diese Art gerechnet
> entschieden zu mühsam.
>
> Ich frage mich, ob Du die Antworten überhaupt liest:
>
> Fred war zwar in seiner Antwort sparsam mit blumigen
> Worten,
Das tut mir aber leid ....
> aber ansonsten war er überhaupt nicht geizig: er
> hat Dir doch Deine Funktion unter Zuhilfenahme der
> Logarithmusgesetze schon so zubereitet, daß das
> Ableiten bequem ist.
................ wie es bequemer nicht mehr geht.
FRED
>
> Hast Du Dir das mal angeschaut? Solltest Du tun. Dann damit
> rechnen.
> Und am Ende kannst Du bei Interesse vergleichen, ob Dein
> eben erzieltes Ergebnis genauso ist.
>
> Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Mo 18.05.2009 | | Autor: | konqui |
Hallo Angela, hallo Fred,
ich habe das Ganze jetzt auf Papier noch mal durchgerechnet und denke, dass ich jetzt das richtige Ergebnis habe.
Danke für Eure Antworten.
P.S.: Kennt Ihr eine Möglichkeit, mit der ich das Ergebnis überprüfen kann?
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> Hallo Angela, hallo Fred,
>
> ich habe das Ganze jetzt auf Papier noch mal durchgerechnet
> und denke, dass ich jetzt das richtige Ergebnis habe.
>
> Danke für Eure Antworten.
>
> P.S.: Kennt Ihr eine Möglichkeit, mit der ich das Ergebnis
> überprüfen kann?
Hallo,
dazu, das Ergebnis der Ableitung der vorgekochten Funktion zu prüfen, sind hier bestimmt viele bereit - wir müßten es allerdings sehen.
![[]](/images/popup.gif) Hier findest Du ein Tool zum Ableiten, ich bin erst heute darauf aufmerksam gemacht worden, weiß also nicht, wie gut es funktioniert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mo 18.05.2009 | | Autor: | konqui |
Also, ich bekomme jetzt folgendes raus:
[mm] \bruch{1}{2}*[ln\bruch{x^2+k^2}{x^2-k^2}-4\bruch{x^2k^2}{(x^2+k^2)(x^2-k^2)}
[/mm]
Das Tool muss ich mir erst ansehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also, ich bekomme jetzt folgendes raus:
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> [mm]\bruch{1}{2}*[ln\bruch{x^2+k^2}{x^2-k^2}-4\bruch{x^2k^2}{(x^2+k^2)(x^2-k^2)}[/mm]
>
Wenn Du ganz hinten noch eine Klammer spendierst , ist es richtig:
$ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}[ln\bruch{x^2+k^2}{x^2-k^2}-4\bruch{x^2k^2}{(x^2+k^2)(x^2-k^2)} [/mm] ]$
FRED
> Das Tool muss ich mir erst ansehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Mo 18.05.2009 | | Autor: | konqui |
Hallo Fred,
danke für die Antwort - die Klammer kann ich noch spendieren 
Liebe Grüße,
Bernhard
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