Ableitung Umkehrfunktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Morgen
um die Ableitung der Umkehrfunktion zu bilden, kann ich da einfach 1 / f'(x)
und f'(x) soll meine Ausgangsfunktion sein, also nicht die Umekhrfunktion.
Stimmt das so? Danke!
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Guten Morgen,
> um die Ableitung der Umkehrfunktion zu bilden, kann ich da
> einfach 1 / f'(x)
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> Stimmt das so? Danke!
Naja, wenn du es verstanden hast schon. Sei g(y) mal die Umkehrfunktion, dann gilt:
g'(y) = [mm] \bruch{1}{f'(x)}, [/mm] wobei y = f(x) gilt.
D.h. in [mm] \bruch{1}{f'(x)} [/mm] musst du genau das x einsetzen, für das gilt y=f(x), dann ist [mm] \bruch{1}{f'(x)} [/mm] die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle y! (und nicht an der Stelle x)
D.h. es gilt NICHT
g'(y) = [mm] \bruch{1}{f'(y)}, [/mm] sondern auf beiden Seiten stehen unterschiedliche Variablen, die durch y = f(x) zusammenhängen.
MFG,
Gono.
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Guten Morgen,
danke! exempla docent 
f(x) = 2x² + 3
jetz soll ich die ableitung der umkehrfunktioon berechnen, also f^(-1)'
1/4x
da ja gilt: y = f(x) = 2x²+3
x = Wurzel((y-3)/2)
und das setze ich oben ein --> ableitung der Umkehrfvunktion:
1/(4*(Wurzel((x-3)/2))
Danke!
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Wenn du die Einschränkungen des Definitionsbereich berücksichtigst, stimmt es.... denn deine Funktion ist so erstmal nicht umkehrbar.
Zur Probe kannst du ja auch als erstes mal [mm] f^{-1} [/mm] berechnen und dann Ableiten.
Und: Benutze nächstemal bitte den Formeleditor, das macht deine Postings um einiges lesbarer
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 So 29.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Nur so als Tipp: Ich kann mir auch nie merken wie man die Umkehrfunktion ableitet, dabei ist es ein ganz leichter Trick, wie man darauf kommt:
1) [mm] f(f^{-1}(x))=x [/mm] Gilt nach Definition der Umkehrfunktion
2) Leiten wir diese Gleichung auf beiden Seiten ab (das war schon der Trick), erhalten wir nach der Kettenregel [mm] $f'(f^{-1}(x))\cdot f^{-1}'(x)=1$, [/mm] also insgesamt [mm] $$f^{-1}'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$
[/mm]
Gruß, Robert
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