Ableitung, Potenzf. beweisen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Mi 19.09.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
Voraussetzung: Für f(x) = x³ gilt: f'(x)=3x²
Behauptung: Für f(x) = [mm] x^4 [/mm] gilt: f'(x)=4x³
Beweis:
Für x0, x0+h (h ungleich 0) wird ms (S=Sekante) berechnet:
[mm] $ms(h)=\bruch{(x0+h)^4-x0^4}{h}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{(x0+h)³*(x0+h)-x0³*x0}{h}$ [/mm] bis hier ist alles klar
[mm] $=\bruch{(x0+h)³*x0+(x0+h)³*h-x0³*x0}{h}$ [/mm] hier verstehe ich die Umformung nicht woher kommt auf einmal dies her: x0+(x0+h)³*h ?
[mm] $=\bruch{(x0+h)³*x0-x0³*x0+(x0+h)³*h}{h}$ [/mm] hierbei wurden nur die Terme zur besseren Übersicht verschoben
[mm] $=\bruch{(x0+h)³-x0³}{h}*x0 [/mm] + [mm] \bruch{(x0+h)³*h}{h}$ [/mm] ist auch soweit klar
$mt(h)= x0* lim [mm] \bruch{(x0+h)³-x0³}{h} [/mm] + x0³$ ist auch klar man lässt h gegen null laufen und sieht was übrig bleibt
$mt(h)= x0* 3x0² + x0³$ Wie kommt man auf 3x0²?
$mt(h)= 4x0³$ wie kommt man auf 4x³ wie muss man die Potenzen behandeln?
Vielen Dank im Voraus, itse.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Mi 19.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
Ich übernehme einmal deine Bezeichnungen, mit einer Ausnahme:
Ich setze [mm] x:=x_0:
[/mm]
[mm] ms=\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
Im Falle [mm] f(x)=x^3 [/mm] bedeutet das:
[mm] ms=\bruch{(x+h)^3-x^3}{h} [/mm] (Klammern auflösen:)
[mm] =\bruch{(x+h)^2*(x+h)-x^3}{h} [/mm] (Zwischenschritt, um besser rechnen zu können)
[mm] =\bruch{(x^2+2xh+h^2)*(x+h)-x^3}{h} [/mm] ( [mm] (x+h)^2 [/mm] ist binomische Formel!)
[mm] =\bruch{\green{x^3}+2x^2h+xh^2+hx^2+2xh^2+h^3\green{-x^3}}{h} [/mm] (grün kürzt sich raus:)
[mm] =\bruch{2x^2h+xh^2+hx^2+2xh^2+h^3}{h}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{h}*(2x^2h+xh^2+hx^2+2xh^2+h^3)
[/mm]
[mm] =2x^2+xh+x^2+2xh+h^2
[/mm]
Jetzt [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} [/mm] laufen lassen:
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} 2x^2+xh+x^2+2xh+h^2=2x^2+x^2=3x^2
[/mm]
Also ist [mm] f'(x)=3x^2.
[/mm]
Ich hoffe, meine Ausführung hilft dir weiter - vielleicht kannst du jetzt die zweite Aufgabe selber lösen?
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Mi 19.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich sehe gerade, du solltest ja eigentlich zeigen,
dass [mm] f'(x)=4x^3 [/mm] die Ableitung von [mm] f(x)=x^4 [/mm] ist.
Jetzt habe ich dir aber gezeigt, dass [mm] f'(x)=3x^2 [/mm] die Ableitung von [mm] f(x)=x^3 [/mm] ist.
Aber bei [mm] f(x)=x^4 [/mm] kannst du in etwa gleich verfahren; versuche es einmal, und wenn du nicht mehr weiterkommst, melde dich einfach noch mal.
MfG barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
> [mm]=\bruch{(x0+h)³*x0+(x0+h)³*h-x0³*x0}{h}[/mm] hier verstehe ich
> die Umformung nicht woher kommt auf einmal dies her: x0+(x0+h)³*h ?
Hier wurde der Klammer-Ausdruck ausmultipliziert:
[mm] $$(x_0+h)^3*(\red{x_0}+\blue{h}) [/mm] \ = \ [mm] (x_0+h)*\red{x_0}+(x_0+h)^3*\blue{h}$$
[/mm]
> [mm]mt(h)= x0* lim \bruch{(x0+h)³-x0³}{h} + x0³[/mm] ist auch klar
> man lässt h gegen null laufen und sieht was übrig bleibt
Naja, zuvor wurde aber schon das Polynom [mm] $(x_0+h)^3$ [/mm] berechnet im Zähler:
[mm] $$m_t(h) [/mm] \ = \ [mm] x_0*\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{x_0^3+3*x_0^2*h+3*x_0*h^2+h^3-x_0^3}{h}+x_0^3 [/mm] \ = \ [mm] x_0*\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{3*x_0^2*h+3*x_0*h^2+h^3}{h}+x_0^3 [/mm] \ = \ [mm] x_0*\limes_{h\rightarrow 0}\left(3*x_0^2+3*x_0*h+h^2\right)+x_0^3 [/mm] \ = \ ...$$
Daher also die $3_$ und nun die Grenzwertbetrachtung für [mm] $h\rightarrow [/mm] 0$ .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Do 20.09.2007 | | Autor: | itse |
Okay, danke für die Hilfe nun ist alles klar. Hab noch eine weitere Aufgabe dazu gerechnet und hat alles wunderbar funktioniert.
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