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Hallo,
ich habe eine Frage zu meiner Formelsammlung. Es geht um die Ableitung einer in der Parameterform dargestellten Funktion: x = x(t) und y = y(t).
Für die erste Ableitung gibt die Formelsammlung an:
y' = [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{\dot y}{\dot x}[/mm]
Das kann ich noch nachvollziehen (Kettenregel). Für die zweite Ableitung steht da aber:
y'' = [mm]\bruch{d^{2}y}{dx^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{dx}{dt}*\bruch{d^{2}y}{dt^{2}} - \bruch{dy}{dt}*\bruch{d^{2}x}{dt^{2}}}{(\bruch{dx}{dt})^{3}}[/mm]
Den Zähler kann ich auch noch nachvollziehen; aber die dritte Potenz im Nenner - ist das vielleicht ein Druckfehler ?
Vielen Dank für die Mühe.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 So 25.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Hallo,
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> ich habe eine Frage zu meiner Formelsammlung. Es geht um
> die Ableitung einer in der Parameterform dargestellten
> Funktion: x = x(t) und y = y(t).
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> Für die erste Ableitung gibt die Formelsammlung an:
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> y' = [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{\dot y}{\dot x}[/mm]
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> Das kann ich noch nachvollziehen (Kettenregel). Für die
> zweite Ableitung steht da aber:
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> y'' = [mm]\bruch{d^{2}y}{dx^{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{dx}{dt}*\bruch{d^{2}y}{dt^{2}} - \bruch{dy}{dt}*\bruch{d^{2}x}{dt^{2}}}{(\bruch{dx}{dt})^{3}}[/mm]
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> Den Zähler kann ich auch noch nachvollziehen; aber die
> dritte Potenz im Nenner - ist das vielleicht ein
> Druckfehler ?
>
> Vielen Dank für die Mühe.
>
> LG, Martinius
>
Hi,
es ist kein Fehler.
Wie die 1.Ableitung, so kannst du die 2.Ableitung nach der Formel berechnen:
y'' = [mm] \bruch{(y'_{x})'_{t}}{x'_{t}}
[/mm]
die 1. Ableitung ist y'_{x} = [mm] \bruch{y'_{t}}{x'_{t}}
[/mm]
Nun kann man die weitere Ableitung nach der Quotientenregel berechnen:
[mm](y'_{x})'_{t}[/mm] = [mm] \bruch{y''_{t}*x'_{t}-x''_{t}*y'_{t}}{(x'_{t})^2}
[/mm]
Nach Einsetzen in die Formel für y'' kriegst du [mm] (x'_{t})^3 [/mm] im Nenner.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 So 25.03.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo Mary,
ja, ich hatte vergessen y'(x) nach t abzuleiten.
Dankeschön.
LG, Martinius
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