Ableitung Arkustangens < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie [mm] $\arctan' x=1/(1+x^{2})$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] und berechnen Sie dann die Ableitung der Funktion:
$f: [mm] \IR \to \IR, f(x):=\arctan \ln (x^{2}+1).$
[/mm]
Sie brauchen nicht zu versuchen, den entstehenden Term für die Ableitung
zu vereinfachen. |
Guten Morgen allerseits,
für den ersten Teil der Aufgabe (Beweis) bitte ich um Hilfestellung, wie ich hier ansetzen kann; ich denke hier an den Differentialquotienten, aber ich weiß weder ob dieser Weg geeignet ist, noch wie ich die Funktion belege -> die hohe Kunst der Beweisführung.
Für den zweiten Teil der Aufgabe bitte ich um Korrektur meiner Lösung:
Um die Kettenregel auf f anwenden zu können, zunächst die Vorarbeit:
[mm] $u(x)=\arctan [/mm] x,$ [mm] $u'(x)=\bruch{1}{(1+x^{2})}$
[/mm]
[mm] $v(x)=\ln (x^{2}+1),$ [/mm] mit Kettenregel [mm] $v'(x)=\bruch{1}{(x^{2}+1)}*2x$ [/mm] denn
[mm] $a(x)=\ln [/mm] x,$ [mm] $a'(x)=\bruch{1}{x}$
[/mm]
[mm] $i(x)=x^{2}+1,$ [/mm] $i'(x)=2x$
Schließlich
[mm] $f'(x)=\bruch{1}{(1+(\ln(x^{2}+1))^{2})}*\bruch{1}{(x^{2}+1)}*2x=$
[/mm]
[mm] $=\bruch{2x}{(1+(\ln(x^{2}+1))^{2})*(x^{2}+1)}$
[/mm]
Vielen Dank für die Mühe und Hilfe!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Sa 29.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie [mm]\arctan' x=1/(1+x^{2})[/mm] für alle [mm]x \in \IR[/mm] und
> berechnen Sie dann die Ableitung der Funktion:
>
> [mm]f: \IR \to \IR, f(x):=\arctan \ln (x^{2}+1).[/mm]
>
> Sie brauchen nicht zu versuchen, den entstehenden Term für
> die Ableitung
> zu vereinfachen.
>
> Guten Morgen allerseits,
>
> für den ersten Teil der Aufgabe (Beweis) bitte ich um
> Hilfestellung, wie ich hier ansetzen kann; ich denke hier
> an den Differentialquotienten, aber ich weiß weder ob
> dieser Weg geeignet ist, noch wie ich die Funktion belege
> -> die hohe Kunst der Beweisführung.
>
> Für den zweiten Teil der Aufgabe bitte ich um Korrektur
> meiner Lösung:
>
>
> Um die Kettenregel auf f anwenden zu können, zunächst die
> Vorarbeit:
>
> [mm]u(x)=\arctan x,[/mm] [mm]u'(x)=\bruch{1}{(1+x^{2})}[/mm]
>
> [mm]v(x)=\ln (x^{2}+1),[/mm] mit Kettenregel
> [mm]v'(x)=\bruch{1}{(x^{2}+1)}*2x[/mm] denn
> [mm]a(x)=\ln x,[/mm] [mm]a'(x)=\bruch{1}{x}[/mm]
> [mm]i(x)=x^{2}+1,[/mm] [mm]i'(x)=2x[/mm]
>
> Schließlich
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{(1+(\ln(x^{2}+1))^{2})}*\bruch{1}{(x^{2}+1)}*2x=[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2x}{(1+(\ln(x^{2}+1))^{2})*(x^{2}+1)}[/mm]
>
>
> Vielen Dank für die Mühe und Hilfe!
>
> Gruß
> el_grecco
>
Alles korrekt
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Sa 29.01.2011 | | Autor: | frozer |
Um den arctan(x) ableiten zu können nutze
der arctan(x) ist ja [mm] $tan^{-1}(x)$
[/mm]
[Externes Bild http://img152.imageshack.us/img152/8251/bildschirmfotod.png]
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