Ableitung Abstandsvektor < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm]\bruch{d\ \bar{d}}{d\ \bar{u}} = \bruch{d}{d\ \bar{u}}\ \left( \bar{p}-\left\langle\bar{p}-\bar{x},\bar{u} \right\rangle \bar{u}\right)[/mm] |
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Hallo alle miteinander,
ich möchte obiges lösen. Das Resultat ist/müsste eine Jacobi-Matrix 3x3 sein. Wendet man die Produktregel an, erhält man ja folgendes:
[mm]\bruch{d\ \bar{d}}{d\ \bar{u}} =-\left( \bruch{d}{d\ \bar u}\left\langle\bar{p}-\bar{x},\bar{u} \right\rangle \bar u + \left\langle\bar{p}-\bar{x},\bar{u} \right\rangle \bruch{d\ \bar u}{d\ \bar u} \right)[/mm]
Schaut man sich nun die Dimensionen der einzelnen Hälften dieses Terms an( Vor und nach dem plus) passen die ja nicht zusammen. Ersteres liefert einen skalar, zweiteres eine 3x3 Matrix.
Kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen, wie das richtig abzuleiten ist?
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[mm]\bruch{\partial\ \vec{d}}{\partial\ \vec{u}} = \bruch{\partial}{\partial\ \vec{u}}\ \left( \vec{p}-\left\langle\vec{p}-\vec{x},\vec{u} \right\rangle \vec{u}\right)[/mm]
> Hallo alle miteinander,
>
> ich möchte obiges lösen. Das Resultat ist/müsste eine
> Jacobi-Matrix 3x3 sein. Wendet man die Produktregel an,
> erhält man ja folgendes:
[mm]\bruch{\partial\ \vec{d}}{\partial\ \vec{u}} =-\left(\underbrace{\green{\left(} \bruch{\partial}{\partial\ \vec u}\left\langle\vec{p}-\vec{x},\vec{u} \right\rangle\green{\right)} \vec u}_{1.Teil} + \underbrace{\left\langle\vec{p}-\vec{x},\vec{u} \right\rangle \bruch{\partial\ \vec u}{\partial\ \vec u}}_{2.Teil} \right)[/mm]
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> Schaut man sich nun die Dimensionen der einzelnen Hälften
> dieses Terms an( Vor und nach dem plus) passen die ja nicht
> zusammen. Ersteres liefert einen Skalar, zweiteres eine 3x3
> Matrix.
>
> Kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen, wie das
> richtig abzuleiten ist?
ich denke, die Formel stimmt
es geht nur um ihre Interpretation
Hallo Schorsch,
ich habe mir erlaubt, die Überstriche durch Vektorpfeile
zu ersetzen und die (partiellen !) Ableitungen mit [mm] "\partial" [/mm]
zu schreiben. Ferner habe ich noch die grüne Klammer
eingesetzt. All das macht das Ganze (wenigstens für mich)
wesentlich besser lesbar.
Der erste Teil liefert nun aber keineswegs einen Skalar,
denn der Ausdruck in der grünen Klammer ist nicht ein
Vektor, der mit dem Vektor [mm] \vec{u} [/mm] skalar multipliziert
wird. Der erste Faktor (in der grünen Klammer) sollte als
Spaltenvektor, der zweite, also [mm] \vec{u} [/mm] , als Zeilenvektor inter-
pretiert werden. Damit wird das Produkt ebenfalls eine
[mm] 3\times{3} [/mm] - Matrix. Im 2.Teil soll ja [mm] \bruch{\partial\ \vec u}{\partial\ \vec u} [/mm] die [mm] 3\times{3} [/mm] - Einheits-
matrix ergeben. Dies kommt formal auch nur dann richtig,
wenn man [mm] \vec{u} [/mm] als Zeilenvektor auffasst.
LG Al-Chwarizmi
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