Ableitung 1/cos² < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Di 09.05.2006 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | | Ableitung von [mm] \bruch {1}{cos^2} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich hab eine kleine Frage
Wie leite ich diesen Term am geschicktesten ab?
[mm] \bruch {1}{cos^2}
[/mm]
Ist ja (cos^(2) x)^-1
...
Habe es mit der mal mit der Kettenregel versucht, kam aber nicht wirklich zu einem sinnvollen Ergenbis. Sind ein paar Operationen zu viel oder? 
Also, ich steh nen bisschen aufm Schlauch.
Für Tipps oder Erläuterungen wie ich abzuleiten habe bin ich dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Di 09.05.2006 | | Autor: | Tea |
Hm ....
sehe grade das (cosx)^-1 * (cosx)^-1
steht.
Also doch Produktregel? Sehr verwirrend
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Hallo Tea,
> Wie leite ich diesen Term am geschicktesten ab?
> [mm]\frac{1}{\cos^2x}[/mm]
Es gilt:
[mm]\frac{1}{\cos^2x} = \frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^2x} = \tan^2x + 1[/mm]
und da in deinem Falle
[mm]\tan' x = \tan^2x + 1[/mm]
gilt, brauchst du hier nur noch die Kettenregel zu benutzen:
[mm]\frac{\partial}{\partial x}\left(\tan^2x + 1\right) \mathop =^{\text{Kettenregel}} 2\tan x \tan'x = 2\tan x \left(\tan^2x + 1\right)[/mm]
oder aber du benutzt hier einfach die Quotientenregel:
[mm]\frac{\partial}{\partial x}\frac{1}{\cos^2x} = \frac{2\cos x\sin x}{\cos^4x} = \frac{2\cos x\sin x}{\cos^4x} = \frac{2\sin x}{\cos^3x}[/mm]
Es kommt darauf an, was du unter "geschickt(?) ableiten" verstehst. Ich gehe aber davon aus, daß du die erste Methode gemeint hast, weil dort das Differenzieren durch einfache "Termersetzungen" der immer gleichen Identität möglich ist.
Gruß
Karl
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Hallo Tea!
Alternativ kannst Du $y \ = \ [mm] \bruch{1}{\cos^2(x)} [/mm] \ = \ [mm] \left[\cos(x)\right]^{-2}$ [/mm] auch direkt mit der  Kettenregel ableiten:
$y' \ = \ [mm] (-2)*\left[\cos(x)\right]^{-3}*\left[-\sin(x)\right] [/mm] \ = \ [mm] 2*\bruch{\sin(x)}{\cos^3(x)}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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